약수와 배수 — 최대공약수와 최소공배수 완전 정복

12개의 사탕을 남김없이 친구들에게 똑같이 나눠줄 수 있는 경우는 몇 가지일까요? 1명에게 12개, 2명에게 6개, 3명에게 4개, 4명에게 3개, 6명에게 2개, 12명에게 1개 — 이렇게 12를 나누어 떨어지게 하는 수들이 바로 약수입니다.

1. 약수(約數)

어떤 수를 나누어 나머지가 0이 되는 수를 그 수의 약수라고 합니다.

12의 약수 구하기
12 ÷ 1 = 12  ← 나머지 0  ✓
12 ÷ 2 = 6   ← 나머지 0  ✓
12 ÷ 3 = 4   ← 나머지 0  ✓
12 ÷ 4 = 3   ← 나머지 0  ✓
12 ÷ 5 = 2···2 ← 나머지 2  ✗
12 ÷ 6 = 2   ← 나머지 0  ✓
12 ÷ 12 = 1  ← 나머지 0  ✓

∴ 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12

약수를 쌍으로 찾는 요령: $1\times 12$, $2\times 6$, $3\times 4$ → 짝을 이루므로 빠뜨리지 않고 찾을 수 있습니다.

2. 배수(倍數)

어떤 수를 1배, 2배, 3배, … 한 수를 그 수의 배수라고 합니다.

3의 배수: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …   (3 × 1, 3 × 2, 3 × 3, …)
5의 배수: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
배수는 끝이 없습니다.

3. 공약수와 최대공약수(GCD)

두 수의 공통 약수를 공약수라 하고, 그 중 가장 큰 것을 최대공약수(GCD)라 합니다.

방법 ① 약수 목록으로 구하기

12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
공약수:    1, 2, 3, 6
최대공약수(GCD): 6

방법 ② 나눗셈(유클리드) 방법

GCD(18, 12) 구하기

18 = 12 × 1 + 6
12 = 6  × 2 + 0   ← 나머지가 0이 되면 마지막 나누는 수가 GCD

∴ GCD(18, 12) = 6

4. 공배수와 최소공배수(LCM)

두 수의 공통 배수를 공배수라 하고, 그 중 가장 작은 것을 최소공배수(LCM)라 합니다.

4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, …
공배수:   12, 24, 36, …
최소공배수(LCM): 12

LCM과 GCD의 관계

$$\text{LCM}(a,b)=\frac{a\times b}{\text{GCD}(a,b)}$$

LCM(4, 6) = 4 × 6 ÷ GCD(4, 6) = 24 ÷ 2 = 12  ✓

5. 실생활 활용

상황	활용	계산
12명과 8명을 같은 수의 모둠으로 나누기	GCD(12, 8) = 4	모둠 수: 4, 각 모둠 3명·2명
3일 마다 오는 버스 A, 4일 마다 오는 버스 B — 언제 동시 출발?	LCM(3, 4) = 12	12일마다 동시 출발
24cm 리본을 같은 길이로 최대한 길게 자르기 (낭비 없이)	GCD(24, ...) 활용	약수 중 최대값 선택

6. 소수(素數)와의 관계

약수가 1과 자기 자신뿐인 수를 소수(Prime)라 합니다: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

소수를 이용해 GCD·LCM을 구할 수 있습니다 (소인수분해법).

12 = 2² × 3
18 = 2  × 3²
GCD = 2¹ × 3¹ = 6
LCM = 2² × 3² = 36