합동과 대칭 — 도형의 같음과 아름다운 균형

나비의 날개, 눈송이, 한글의 ‘ㅎ’ 글자 — 우리 주변에는 대칭 구조가 가득합니다. 두 도형이 완전히 같을 때를 합동이라 하고, 대칭의 아름다움을 수학적으로 표현하면 선대칭과 점대칭이 됩니다.

1. 합동(合同)

두 도형을 포개었을 때 완전히 겹치면 두 도형은 합동이라고 합니다.

• 합동인 도형은 모양과 크기가 완전히 같습니다.
• 뒤집거나 돌려도 완전히 겹치면 합동입니다.

대응 관계

합동인 두 도형에서 서로 대응하는 꼭짓점, 변, 각을 각각 대응점, 대응변, 대응각이라 합니다.

대응 요소	성질
대응변	길이가 서로 같다
대응각	크기가 서로 같다

삼각형 ABC ≅ 삼각형 DEF 이면
AB = DE, BC = EF, CA = FD
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

2. 선대칭 도형

한 직선을 따라 접었을 때 완전히 겹치는 도형을 선대칭 도형이라 합니다.

이 직선을 대칭축이라 합니다.

선대칭 도형의 성질

• 대칭축의 양쪽은 합동입니다.
• 대응점을 이은 선분은 대칭축에 수직으로 만납니다.
• 대응점에서 대칭축까지의 거리가 서로 같습니다.

   A
  /|\
 / | \
B--+--C
   ↑
  대칭축 (중선)

A는 대칭축 위, B와 C는 대응점
대칭축에서 B까지 거리 = 대칭축에서 C까지 거리

선대칭 도형 예시

도형	대칭축 수
정삼각형	3개
정사각형	4개
원	무한히 많음
이등변삼각형	1개
직사각형	2개

3. 점대칭 도형

한 점을 중심으로 180° 돌렸을 때 완전히 겹치는 도형을 점대칭 도형이라 합니다.

이 점을 대칭의 중심이라 합니다.

점대칭 도형의 성질

• 대칭의 중심은 대응점을 이은 선분의 중점입니다.
• 대응점에서 대칭의 중심까지 거리가 서로 같습니다.
• 대응변의 길이와 대응각의 크기가 같습니다.

점대칭 도형 예시

• 평행사변형 ✓ (대칭의 중심 = 두 대각선의 교점)
• 정육각형 ✓
• S자 모양 ✓
• 이등변삼각형 ✗ (선대칭은 O, 점대칭은 X)

4. 선대칭과 점대칭의 차이

구분	선대칭	점대칭
기준	대칭축 (직선)	대칭의 중심 (점)
방법	접었을 때 겹침	180° 돌렸을 때 겹침
정사각형	✓	✓
직사각형	✓	✓
이등변삼각형	✓	✗
평행사변형	✗ (일반적으로)	✓