분수의 나눗셈 심화 — (분수) ÷ (분수)와 역수 활용

1학기에는 (분수) ÷ (자연수)를 배웠습니다. 이제 $\frac{3}{4}÷\frac{1}{2}$처럼 분수끼리 나누는 방법을 배웁니다. 핵심은 나누는 분수의 역수를 곱하는 것입니다.

1. 역수(逆數)란?

어떤 수와 곱했을 때 1이 되는 수입니다.

$$\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=1\Rightarrow \frac{a}{b}\text{의 역수}=\frac{b}{a}$$

수	역수
$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{2}$
$5$	$\frac{1}{5}$
$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$	$\frac{4}{5}$

2. (분수) ÷ (분수) = (분수) × (역수)

$$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$$

왜 역수를 곱할까?

3/4 ÷ 1/2 의 의미:
"3/4 안에 1/2이 몇 개 들어 있는가?"

3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1과 1/2

확인: 1/2 × 1.5 = 3/4  ✓

3. 계산 예시

① 5/6 ÷ 2/3
= 5/6 × 3/2
= 15/12 = 5/4 = 1과 1/4

② 4/7 ÷ 8/21
= 4/7 × 21/8
= 84/56 = 3/2   ← 약분: 4와 8 GCD=4, 7과 21 GCD=7
= 1과 1/2

③ 3/8 ÷ 9/16
= 3/8 × 16/9
= 48/72 = 2/3

4. 대분수가 포함된 나눗셈

대분수 → 가분수로 변환 후 역수 곱하기

2와 1/4 ÷ 1과 1/2

= 9/4 ÷ 3/2       ← 가분수 변환
= 9/4 × 2/3       ← 역수 곱하기
= 18/12 = 3/2     ← 약분
= 1과 1/2

5. 몫이 1보다 크거나 작은 경우 판단

나누는 수가	몫은	예시
1보다 작은 분수	피제수보다 크다	$\frac{1}{2}÷\frac{1}{4}=2$
1보다 큰 분수	피제수보다 작다	$\frac{1}{2}÷\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$
1과 같은 분수	피제수와 같다	$\frac{2}{3}÷1=\frac{2}{3}$