원의 넓이 — 원주율 π와 원의 공식

바퀴가 한 바퀴 굴렀을 때 이동한 거리는 바퀴 둘레와 같습니다. 이 둘레를 지름으로 나누면 항상 같은 수가 나옵니다 — 바로 원주율 π(파이)입니다.

1. 원주율(圓周率) π

원주(원의 둘레)와 지름의 비입니다.

$$\pi =\frac{\text{원주}}{\text{지름}}\approx 3.14159\dots$$

초등학교에서는 π ≈ 3.14를 사용합니다.

지름이 10cm인 원을 굴리면
이동 거리 = 10 × 3.14 = 31.4 cm

2. 원주(원의 둘레)

$$\text{원주}=\text{지름}\times \pi =2\times \text{반지름}\times \pi$$

$$C=\pi d=2\pi r$$

반지름 5cm인 원의 원주:
C = 2 × 5 × 3.14 = 31.4 cm

지름이 8cm인 원의 원주:
C = 8 × 3.14 = 25.12 cm

3. 원의 넓이 공식 유도

원을 잘게 자르면 직사각형에 가까워집니다.

원을 32등분하여 부채꼴을 지그재그로 펼치면:
- 가로 ≈ 원주의 절반 = πr
- 세로 = 반지름 r

넓이 = πr × r = πr²

$$\boxed{S=\pi r^2}$$

4. 계산 예시

반지름	원주 (×3.14)	넓이 (×3.14)
3 cm	$2\times 3\times 3.14=18.84$ cm	$3^2\times 3.14=28.26$ cm²
5 cm	$2\times 5\times 3.14=31.4$ cm	$5^2\times 3.14=78.5$ cm²
10 cm	$2\times 10\times 3.14=62.8$ cm	$10^2\times 3.14=314$ cm²

5. 반원·부채꼴 넓이

반원(반지름 6cm):
넓이 = πr² / 2 = 6² × 3.14 / 2 = 56.52 cm²

사분원(90°, 반지름 4cm):
넓이 = πr² × (90/360) = 4² × 3.14 × 1/4 = 12.56 cm²

6. 실생활 활용

지름 28cm 피자의 넓이:
S = π × 14² = 3.14 × 196 = 615.44 cm²

트랙(가로 100m, 양 끝 반원 반지름 36.5m):
직선 구간: 100 × 2 = 200 m
곡선 구간: 2πr = 2 × 3.14 × 36.5 ≈ 229.3 m
전체: ≈ 429.3 m (약 400m 트랙)