삼각형의 성질 — 이등변삼각형·외심·내심

두 변의 길이가 같은 이등변삼각형은 숨겨진 대칭성을 품고 있습니다. 외심과 내심은 삼각형의 핵심 점으로 건축·디자인·지도 제작에 활용됩니다.

1. 이등변삼각형의 성질

이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형 (AB = AC)

성질	내용
성질 ①	두 밑각의 크기가 같다: ∠B = ∠C
성질 ②	꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다

역도 성립

두 내각이 같으면 이등변삼각형: $\angle B=\angle C\Rightarrow AB=AC$

예제: AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A = 40°
→ ∠B = ∠C = (180°−40°)/2 = 70°

예제: ∠B = 65°인 이등변삼각형 (AB=AC)
→ ∠A = 180° − 65° × 2 = 50°

2. 직각삼각형의 합동 조건

조건	이름	내용
RHA	빗변 + 한 예각	빗변 같고 한 예각 같으면 합동
RHS	빗변 + 다른 한 변	빗변 같고 다른 한 변 같으면 합동

⚠️ 직각삼각형에서는 SSA가 예외적으로 합동 조건이 됩니다 (빗변 포함 시).

3. 삼각형의 외심(外心)

외심: 세 변의 수직이등분선이 만나는 점. 외접원의 중심.

• 외심 O에서 세 꼭짓점까지의 거리 = 외접원의 반지름 $R$: $OA=OB=OC=R$
• 예각삼각형: 외심이 내부
• 직각삼각형: 외심이 빗변의 중점
• 둔각삼각형: 외심이 외부

∠BOC = 2∠A  (원주각의 2배 법칙 선행 개념)

직각삼각형 ABC에서 ∠A = 90°이면
외심 O = BC의 중점, 외접원 반지름 = BC/2

4. 삼각형의 내심(內心)

내심: 세 내각의 이등분선이 만나는 점. 내접원의 중심.

• 내심 I에서 세 변까지의 거리 = 내접원의 반지름 $r$
• 내심은 항상 삼각형 내부에 위치

∠BIC = 90° + (∠A)/2

예제: ∠A = 60°이면
∠BIC = 90° + 30° = 120°

5. 외심·내심 각도 계산

△ABC에서 ∠A = 70°

외심 O: ∠BOC = 2×70° = 140°

내심 I: ∠BIC = 90° + 70°/2 = 90° + 35° = 125°