사각형의 성질 — 평행사변형과 특수 사각형

사각형들은 서로 계층 구조를 이루고 있습니다. 정사각형 ⊂ 직사각형 ⊂ 평행사변형. 상위 도형의 성질을 알면 하위 도형의 성질도 자동으로 따라옵니다.

1. 평행사변형 (Parallelogram)

두 쌍의 대변이 평행한 사각형 (AB ∥ CD, AD ∥ BC)

성질

• 대변의 길이가 같다: AB = CD, BC = AD
• 대각의 크기가 같다: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
• 이웃하는 두 각의 합 = 180°: ∠A + ∠B = 180°
• 두 대각선이 서로를 이등분한다: AO = CO, BO = DO

평행사변형이 되기 위한 조건 (5가지)

① 두 쌍의 대변이 각각 평행
② 두 쌍의 대변이 각각 같음
③ 두 쌍의 대각이 각각 같음
④ 한 쌍의 대변이 평행하고 길이도 같음
⑤ 두 대각선이 서로를 이등분함

2. 특수한 평행사변형

이름	추가 조건	대각선 특성
직사각형	네 각이 모두 90°	대각선 길이 같음 (AC=BD)
마름모	네 변이 모두 같음	대각선이 수직으로 교차 (AC⊥BD)
정사각형	네 각 90° + 네 변 같음	길이 같고 수직으로 교차

직사각형 성질 확인:
평행사변형 + 한 각이 90° → 모든 각이 90°
대각선 길이 같음 (피타고라스로 증명)

마름모 성질 확인:
평행사변형 + 이웃하는 두 변 같음 → 네 변 같음
대각선이 수직 이등분 (이등변삼각형 성질)

3. 등변사다리꼴

아랫변과 윗변이 평행하고, 두 다리(비평행 변)의 길이가 같은 사다리꼴입니다.

• 두 밑각이 각각 같다: ∠A = ∠B (아래), ∠C = ∠D (위)
• 두 대각선의 길이가 같다: AC = BD

등변사다리꼴 ABCD에서 AD ∥ BC, AB = CD
∠ABC = ∠BAD (아랫각), ∠BCD = ∠ADC (윗각)
AC = BD

4. 사각형의 포함 관계

사각형
 └─ 사다리꼴 (한 쌍의 대변이 평행)
     └─ 평행사변형 (두 쌍의 대변이 평행)
         ├─ 직사각형 (+ 직각)
         │   └─ 정사각형 (+ 등변)
         └─ 마름모 (+ 등변)
             └─ 정사각형 (+ 직각)

5. 활용 문제

평행사변형 ABCD에서 ∠A = 70°이면
∠C = 70° (대각), ∠B = ∠D = 110°

마름모 ABCD의 대각선 교점 O에서
∠AOB = 90°, AO = CO, BO = DO

직사각형 ABCD에서 대각선 AC = 10cm이면
BD = 10cm (대각선 길이 같음)