사각형들은 서로 계층 구조를 이루고 있습니다. 정사각형 ⊂ 직사각형 ⊂ 평행사변형. 상위 도형의 성질을 알면 하위 도형의 성질도 자동으로 따라옵니다.
1. 평행사변형 (Parallelogram)
두 쌍의 대변이 평행한 사각형 (AB ∥ CD, AD ∥ BC)
성질
- 대변의 길이가 같다: AB = CD, BC = AD
- 대각의 크기가 같다: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
- 이웃하는 두 각의 합 = 180°: ∠A + ∠B = 180°
- 두 대각선이 서로를 이등분한다: AO = CO, BO = DO
평행사변형이 되기 위한 조건 (5가지)
① 두 쌍의 대변이 각각 평행
② 두 쌍의 대변이 각각 같음
③ 두 쌍의 대각이 각각 같음
④ 한 쌍의 대변이 평행하고 길이도 같음
⑤ 두 대각선이 서로를 이등분함2. 특수한 평행사변형
| 이름 | 추가 조건 | 대각선 특성 |
|---|---|---|
| 직사각형 | 네 각이 모두 90° | 대각선 길이 같음 (AC=BD) |
| 마름모 | 네 변이 모두 같음 | 대각선이 수직으로 교차 (AC⊥BD) |
| 정사각형 | 네 각 90° + 네 변 같음 | 길이 같고 수직으로 교차 |
직사각형 성질 확인:
평행사변형 + 한 각이 90° → 모든 각이 90°
대각선 길이 같음 (피타고라스로 증명)
마름모 성질 확인:
평행사변형 + 이웃하는 두 변 같음 → 네 변 같음
대각선이 수직 이등분 (이등변삼각형 성질)3. 등변사다리꼴
아랫변과 윗변이 평행하고, 두 다리(비평행 변)의 길이가 같은 사다리꼴입니다.
- 두 밑각이 각각 같다: ∠A = ∠B (아래), ∠C = ∠D (위)
- 두 대각선의 길이가 같다: AC = BD
등변사다리꼴 ABCD에서 AD ∥ BC, AB = CD
∠ABC = ∠BAD (아랫각), ∠BCD = ∠ADC (윗각)
AC = BD4. 사각형의 포함 관계
사각형
└─ 사다리꼴 (한 쌍의 대변이 평행)
└─ 평행사변형 (두 쌍의 대변이 평행)
├─ 직사각형 (+ 직각)
│ └─ 정사각형 (+ 등변)
└─ 마름모 (+ 등변)
└─ 정사각형 (+ 직각)5. 활용 문제
평행사변형 ABCD에서 ∠A = 70°이면
∠C = 70° (대각), ∠B = ∠D = 110°
마름모 ABCD의 대각선 교점 O에서
∠AOB = 90°, AO = CO, BO = DO
직사각형 ABCD에서 대각선 AC = 10cm이면
BD = 10cm (대각선 길이 같음)핵심 정리
- 평행사변형: 대변 같음, 대각 같음, 대각선 서로 이등분
- 직사각형: 대각선 길이 같음
- 마름모: 대각선이 수직 교차
- 정사각형 = 직사각형 + 마름모
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