일차함수 — y = ax + b 그래프 완전 정복

자동차가 시속 60km로 달릴 때 $t$시간 후 거리 $y=60t$. 이것이 바로 일차함수입니다. 그래프를 그리면 한눈에 모든 상황이 보입니다.

1. 함수의 개념

$x$의 값이 정해지면 $y$의 값이 단 하나 정해지는 관계를 함수라고 합니다.

함수 O: y = 2x + 1  (x에 하나의 y 대응)
함수 X: y² = x     (x=4일 때 y=2 또는 y=−2)

2. 일차함수 정의

$$y=ax+b(a\ne 0)$$

• $a$: 기울기 (x가 1 증가할 때 y의 변화량)
• $b$: y절편 (x=0일 때 y값, 그래프가 y축과 만나는 점)

3. 기울기 구하기

$$\text{기울기}=a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y의증가량}{x의증가량}$$

두 점 (1, 3), (3, 7)을 지나는 직선의 기울기:
a = (7−3)/(3−1) = 4/2 = 2

두 점 (2, 5), (4, 1)을 지나는 직선의 기울기:
a = (1−5)/(4−2) = −4/2 = −2

4. 일차함수 그래프 그리기

y = 2x − 3

방법 ①: y절편(0, −3)에서 시작 → 기울기 2이므로
x 1 증가, y 2 증가 → 점 (1, −1) 표시 → 직선 연결

방법 ②: x=0 → y=−3, x=2 → y=1
두 점 (0, −3), (2, 1)을 연결

5. 기울기와 y절편에 따른 그래프 특성

조건	그래프 모양
$a>0$	왼쪽 아래 → 오른쪽 위 (증가)
$a<0$	왼쪽 위 → 오른쪽 아래 (감소)
$|a|$ 클수록	더 가파른 직선
$b>0$	y절편이 양수 → 위에서 y축 교차
$b<0$	y절편이 음수 → 아래에서 y축 교차

6. 일차함수식 구하기

① 기울기 2, 점 (1, 5) 통과:
y = 2x + b  에  x=1, y=5 대입:
5 = 2 + b  →  b = 3
∴ y = 2x + 3

② 두 점 (−1, 1), (2, 7) 통과:
기울기 a = (7−1)/(2−(−1)) = 6/3 = 2
y = 2x + b  에  (2, 7) 대입:
7 = 4 + b  →  b = 3
∴ y = 2x + 3

7. 일차방정식과 일차함수의 관계

방정식 2x + y = 6  ↔  함수 y = −2x + 6

방정식의 그래프 = 함수 y = −2x + 6 의 그래프 (직선)

연립방정식의 해 = 두 직선의 교점 좌표
{ y = x + 1
{ y = −x + 5
교점: x+1 = −x+5  →  2x = 4  →  x=2, y=3
교점: (2, 3)