일차부등식 — 범위로 나타내는 해

방정식의 답은 딱 하나지만, 부등식의 답은 범위입니다. "몇 개 이상을 사야 할인이 될까?" — 이런 문제는 부등식으로 풀어야 합니다.

1. 부등식과 기호

기호	읽기	의미
$a>b$	a는 b보다 크다	a가 b 초과
$a\ge b$	a는 b 이상이다	a ≥ b
$a<b$	a는 b보다 작다	a가 b 미만
$a\le b$	a는 b 이하이다	a ≤ b

2. 부등식의 성질

성질	내용	주의
덧셈·뺄셈	양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 유지
양수 곱·나눗셈	양변에 양수를 곱하거나 나눠도 부등호 유지
⚠️ 음수 곱·나눗셈	양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향 반전!	반드시 뒤집기

3 > 1  → 양변에 −2 곱하기
−6 < −2  (부등호 방향 바뀜!)  ✓

3. 일차부등식 풀기

2x − 3 > 7

이항: 2x > 7 + 3
정리: 2x > 10
÷2:  x > 5

수직선: 5 오른쪽 방향 (5는 포함 안 됨, 빈 원)

−3x + 6 ≤ 0

이항: −3x ≤ −6
÷(−3): x ≥ 2    ← 음수로 나누므로 ≤ → ≥ 반전!

수직선: 2 오른쪽 방향 (2 포함, 채운 원)

4. 괄호·분수·소수가 있는 부등식

2(x − 3) < 3(x + 1)
2x − 6 < 3x + 3
−x < 9
x > −9   ← ÷(−1) 부등호 반전

(2x − 1)/3 ≥ (x + 2)/2
양변에 6 곱하기: 2(2x−1) ≥ 3(x+2)
4x − 2 ≥ 3x + 6
x ≥ 8

5. 연립부등식

{ x − 1 > 0
{ 3x − 7 < 2x

각각 풀기:
x > 1
x < 7

공통 해: 1 < x < 7

{ 2x + 3 ≥ x + 5
{ x/2 < 2x − 3

x ≥ 2
x > 2

공통 해: x > 2

6. 실생활 활용

문제: 개당 500원짜리 빵을 최소 몇 개 사야 3000원 이상이 될까?
부등식: 500x ≥ 3000
해: x ≥ 6 → 최소 6개

문제: 한 변이 xcm인 정사각형 둘레가 20cm 미만이 되려면?
부등식: 4x < 20
해: x < 5 → 5cm 미만

문제: 시속 60km, 시속 80km로 달려 200km를 4시간 이내에 가려면
60km 구간은 최대 몇 km?
설정: 60km 구간 xkm, 80km 구간 (200−x)km
x/60 + (200−x)/80 ≤ 4
양변에 240 곱하기: 4x + 3(200−x) ≤ 960
4x + 600 − 3x ≤ 960
x ≤ 360km → 최대 360km (200km 전체보다 크므로 제한 없음)