도형의 닮음 — 닮음비와 삼각형 닮음 조건

지도와 실제 지형은 닮음 관계입니다. 지도에서 1cm = 실제 10km라면 닮음비는 1:1,000,000. 닮음비만 알면 직접 측정하지 않고도 크기를 알 수 있습니다.

1. 닮음의 정의

모양이 같고 크기만 다른 두 도형을 닮음이라 합니다. 기호: △ABC ∽ △DEF

닮음인 두 도형은:

• 대응하는 각의 크기가 같다
• 대응하는 변의 길이의 비가 일정하다 (닮음비)

2. 닮음비

대응하는 두 변의 길이의 비를 닮음비라고 합니다.

△ABC ∽ △DEF, 닮음비 1:2이면

AB:DE = BC:EF = CA:FD = 1:2
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

AB=3이면 DE=6
BC=5이면 EF=10

3. 삼각형의 닮음 조건

조건	이름	내용
SSS	세 변의 비가 같을 때	$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$
SAS	두 변의 비가 같고 끼인각이 같을 때	$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$이고 $\angle B=\angle E$
AA	두 각이 같을 때	$\angle A=\angle D$이고 $\angle B=\angle E$

⚠️ 합동 조건과 달리 닮음은 AA(두 각)만으로도 충분합니다. (세 각의 합=180°이므로 두 각이 같으면 나머지도 자동으로 같음)

4. 닮음비와 넓이·부피

닮음비가 $m:n$이면:

$$\text{넓이비}=m^2:n^2$$

$$\text{부피비}=m^3:n^3$$

닮음비 2:3인 두 삼각형
넓이비 = 4:9

닮음비 1:2인 두 정육면체
부피비 = 1:8  (8배!)

지도 1:50000 → 지도 1cm² = 실제 50000² cm² = 2500m² = 0.25km²

5. 닮음의 활용 — 간접 측정

나무 높이 측정:
나(키 1.7m)의 그림자 = 2m
나무의 그림자 = 8m

나:나무 = 나그림자:나무그림자
1.7 : x = 2 : 8
x = 1.7 × 8 / 2 = 6.8m

삼각형 내에서의 닮음:
△ABC에서 DE ∥ BC이면
△ADE ∽ △ABC (AA)

AD/AB = AE/AC = DE/BC
AD=3, AB=9이면 닮음비=1:3
DE = BC/3

6. 중점 연결 정리

삼각형 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변에 평행하고 그 길이의 절반입니다.

$$MN\parallel BC,MN=\frac{1}{2}BC$$