피타고라스 정리 — a² + b² = c²

고대 이집트인들은 3:4:5 비율의 밧줄로 직각을 만들었습니다. 고대 바빌로니아 점토판에도 기록된 이 관계식 — $3^2+4^2=5^2$ — 이 바로 피타고라스 정리의 출발점입니다.

1. 피타고라스 정리

직각삼각형에서 직각을 끼는 두 변을 $a$, $b$, 빗변을 $c$라 하면:

$$a^2+b^2=c^2$$

2. 증명 방법 (넓이 이용)

한 변이 (a+b)인 정사각형 안에
빗변 c인 직각삼각형 4개를 배치

큰 정사각형 넓이 = 4개의 삼각형 + 안쪽 정사각형
(a+b)² = 4×(ab/2) + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
∴ a² + b² = c²  ∎

3. 피타고라스 수 (자연수 해)

a	b	c	확인
3	4	5	9+16=25 ✓
5	12	13	25+144=169 ✓
6	8	10	36+64=100 ✓
8	15	17	64+225=289 ✓
7	24	25	49+576=625 ✓

4. 특수 직각삼각형

① 45°-45°-90° (등변직각삼각형)
   두 직각변의 길이 a이면
   빗변 = a√2

   a=5이면 빗변 = 5√2

② 30°-60°-90° 삼각형
   짧은 변 a, 긴 변 a√3, 빗변 2a

   비율: 1 : √3 : 2

   예: 빗변=10이면 짧은 변=5, 긴 변=5√3

5. 빗변과 두 변 구하기

직각삼각형 a=6, b=8이면
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = 10

직각삼각형 b=5, c=13이면
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = 12

6. 삼각형 종류 판별

세 변의 길이 $a\le b\le c$일 때:

$$a^2+b^2>c^2\Rightarrow \text{예각삼각형}$$

$$a^2+b^2=c^2\Rightarrow \text{직각삼각형}$$

$$a^2+b^2<c^2\Rightarrow \text{둔각삼각형}$$

변이 5, 7, 9인 삼각형:
5² + 7² = 25 + 49 = 74 < 81 = 9²
→ 둔각삼각형

변이 5, 12, 13인 삼각형:
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
→ 직각삼각형

7. 두 점 사이의 거리 공식

좌표평면에서 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ 사이의 거리:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

A(1, 2), B(4, 6)
d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5

8. 실생활 응용

① 사다리 문제:
벽에서 1.5m 떨어진 곳에 5m 사다리를 세울 때
사다리가 닿는 높이 h:
h² = 5² − 1.5² = 25 − 2.25 = 22.75
h = √22.75 ≈ 4.77m

② 대각선 길이:
가로 6m, 세로 8m인 방의 대각선:
d = √(6²+8²) = √100 = 10m

③ 직사각형 넓이(대각선으로 구하기):
직사각형 대각선 13cm, 한 변 5cm이면
다른 변 = √(169−25) = √144 = 12cm
넓이 = 5 × 12 = 60cm²