연립일차방정식 — 두 미지수를 동시에 풀기

미지수가 하나인 방정식은 답이 하나. 미지수가 두 개라면 방정식도 두 개 필요합니다! 이처럼 두 방정식을 동시에 만족하는 $x$, $y$를 찾는 것이 연립방정식입니다.

1. 연립방정식이란?

두 개(이상)의 방정식을 동시에 만족하는 미지수의 값을 구하는 것입니다.

{ 2x + y = 7   ← 방정식 ①
{ x − y = 2   ← 방정식 ②

두 식을 동시에 만족하는 x, y를 구하면?

2. 가감법 (加減法)

두 방정식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 소거합니다.

예제: 변수 소거

{ 2x + y = 7  ①
{ x − y = 2  ②

①+②: 3x = 9  →  x = 3
②에 대입: 3 − y = 2  →  y = 1

해: x=3, y=1

검산: 2(3)+1=7 ✓,  3−1=2 ✓

계수를 맞춰야 할 때

{ 3x + 2y = 16  ①
{ 2x + 3y = 14  ②

x를 소거하려면 ①×2, ②×3:
6x + 4y = 32
6x + 9y = 42
─────────────
−5y = −10  →  y = 2
x = (16 − 4) / 3 = 4

해: x=4, y=2

3. 대입법 (代入法)

한 식에서 한 변수를 다른 변수로 표현하여 다른 식에 대입합니다.

{ y = 2x − 1  ①
{ 3x + 2y = 13 ②

①을 ②에 대입:
3x + 2(2x−1) = 13
3x + 4x − 2 = 13
7x = 15  →  x = 15/7... ← 정수 아님

다시 확인: 3x + 2y = 13 에 y = 3 (가정)
3x = 7  x = 7/3 → 분수

⚠️ 계수가 맞지 않으면 가감법이 편함

{ x + 2y = 8  ①  →  x = 8 − 2y
{ 3x − y = 3  ②

대입: 3(8−2y) − y = 3
      24 − 6y − y = 3
      −7y = −21  →  y = 3
      x = 8 − 6 = 2

해: x=2, y=3

4. 해가 없는 경우 / 무수히 많은 경우

{ 2x + y = 4
{ 4x + 2y = 6  → ①×2를 하면 4x+2y=8 ≠ 6
→ 모순! 해 없음 (두 직선이 평행)

{ 2x + y = 4
{ 4x + 2y = 8  → ①×2와 동일
→ 같은 방정식! 해가 무수히 많음 (두 직선이 일치)

5. 실생활 문제

문제: 어른 3명, 어린이 2명의 입장료 합계 13000원
     어른 1명, 어린이 3명의 입장료 합계 10000원
     각각의 입장료는?

어른: x원, 어린이: y원
{ 3x + 2y = 13000  ①
{ x + 3y = 10000   ②

②×3: 3x + 9y = 30000
①:   3x + 2y = 13000
─────────────────────────
7y = 17000  →  y = 2000 (어린이)
x + 6000 = 10000  →  x = 4000 (어른)

문제: 두 수의 합 = 18, 차 = 4
{ x + y = 18
{ x − y = 4

가감법: 2x = 22  →  x = 11, y = 7