다항식의 계산 — 곱셈 공식으로 식 전개하기

$(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$. 이 계산을 항상 일일이 FOIL할 필요는 없습니다. 곱셈 공식을 외우면 머릿속에서 3초 안에 끝납니다. 이것이 다항식의 힘입니다.

1. 다항식의 덧셈과 뺄셈

동류항끼리 모아 계산합니다.

(3x² + 2x − 1) + (x² − 5x + 4)
= (3x² + x²) + (2x − 5x) + (−1 + 4)
= 4x² − 3x + 3

(4x² − 3x + 2) − (2x² + x − 5)
= 4x² − 3x + 2 − 2x² − x + 5
= 2x² − 4x + 7

2. 단항식 × 다항식 (분배법칙)

2x(3x − 4y + 1)
= 2x×3x + 2x×(−4y) + 2x×1
= 6x² − 8xy + 2x

−3a²(2a − b + 5)
= −6a³ + 3a²b − 15a²

3. 다항식 × 다항식 (FOIL법)

(x + 2)(x + 5)
= x² + 5x + 2x + 10
= x² + 7x + 10

(2x − 3)(x + 4)
= 2x² + 8x − 3x − 12
= 2x² + 5x − 12

4. 곱셈 공식 4가지

#	공식	예시
①	$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$	$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$
②	$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$	$(x-4{)}^2=x^2-8x+16$
③	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$	$(x+5)(x-5)=x^2-25$
④	$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$	$(x+2)(x+7)=x^2+9x+14$

공식 ① 유도 (완전제곱식)

$$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$

5. 곱셈 공식 활용 — 수 계산

103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609  (공식①)
97² = (100 − 3)² = 10000 − 600 + 9 = 9409    (공식②)
53 × 47 = (50+3)(50−3) = 2500 − 9 = 2491     (공식③)

6. 복잡한 전개식

(2x + 3y)² = (2x)² + 2×2x×3y + (3y)²
           = 4x² + 12xy + 9y²

(3a − 2b)(3a + 2b) = (3a)² − (2b)²
                   = 9a² − 4b²

(x − 2)(x + 5)(x − 3) → 두 개 먼저 계산:
(x − 2)(x + 5) = x² + 3x − 10
(x² + 3x − 10)(x − 3)
= x³ − 3x² + 3x² − 9x − 10x + 30
= x³ − 19x + 30