유리수와 순환소수 — 무한소수를 분수로

$\frac{1}{3}=\mathrm{0.333...}$ 이 소수는 끝이 없습니다. 하지만 규칙적으로 반복됩니다. 이런 수를 순환소수라 하고, 분수로 완벽하게 표현할 수 있습니다.

1. 소수의 분류

종류	설명	예시
유한소수	소수점 아래 자릿수가 유한함	0.5, 0.25, 1.375
순환소수	소수점 아래 일정한 숫자가 무한 반복	$0.\dot{3}$, $0.\dot{1}\dot{4}$
무한소수(비순환)	반복 없이 무한히 계속됨	$\pi$, $\sqrt{2}$

유한소수와 순환소수를 합쳐 유리수, 비순환 무한소수는 무리수입니다.

2. 분수 → 소수 판별

기약분수 $\frac{a}{b}$를 소수로 나타낼 때:

• 분모 $b$가 $2^m\times 5^n$ 꼴이면 → 유한소수
• 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있으면 → 순환소수

3/8 = 3/(2³) → 유한소수: 0.375  ✓
7/12 = 7/(2²×3) → 순환소수: 0.583333... = 0.5833...

1/6 = 1/(2×3) → 순환소수: 0.1666... = 0.1ṡ6

3. 순환소수 표기법

반복되는 구간의 첫째와 끝 숫자 위에 점을 찍습니다.

0.333...    = 0.3̇          (3이 반복)
0.141414... = 0.1̇4̇         (14가 반복)
1.235235... = 1.2̇3̇5̇        (235가 반복)
0.583333... = 0.58̇3̇        (3이 반복, 8은 반복 외)

4. 순환소수 → 분수 변환

방법: 10^n 을 곱해 반복 부분을 소거

예제 1: $x=0.\dot{3}$ (= 0.333...)

x    = 0.3333...
10x  = 3.3333...
─────────────────
9x   = 3
x    = 3/9 = 1/3  ✓

예제 2: $x=0.\dot{1}\dot{4}$ (= 0.141414...)

x    =  0.141414...
100x = 14.141414...
─────────────────────
99x  = 14
x    = 14/99  ✓

예제 3: $x=0.1\dot{6}$ (= 0.1666...)

x    = 0.1666...
10x  = 1.666...
100x = 16.666...
─────────────────────
100x - 10x = 16.666... - 1.666...
90x  = 15
x    = 15/90 = 1/6  ✓

공식 정리

소수점 아래 비반복 부분의 자릿수를 $m$, 반복 부분의 자릿수를 $n$이라 하면:

$$x=\frac{\text{(반복 포함 수)}-\text{(비반복 부분 수)}}{(\underset{n개}{\underbrace{9\cdots 9}})(\underset{m개}{\underbrace{0\cdots 0}})}$$

0.583333... → 비반복:58, 반복:3, m=2, n=1
분수 = (583 − 58) / 900 = 525/900 = 7/12  ✓

5. 유리수의 완전한 정의

$$\text{유리수}=\frac{m}{n}(m,n\text{ 정수},n\ne 0)$$

→ 모든 유한소수와 순환소수는 유리수로 표현 가능합니다.

→ $\sqrt{2}$, $\pi$ 등은 분수로 표현 불가 → 무리수