다각형과 정다각형 — 변의 수에 따른 도형의 세계

벌집은 정육각형의 완벽한 집합체이고, 축구공은 정오각형과 정육각형으로 이루어져 있습니다. 다각형은 자연과 인공 구조물 곳곳에 숨어 있는 아름다운 수학입니다.

1. 다각형이란?

다각형은 3개 이상의 선분으로 이루어진 닫힌 평면 도형입니다.

• 선분끼리 서로 만나지 않아야 함
• 곡선이 있으면 다각형이 아님 (원 제외)

이름	변의 수	꼭짓점의 수	각의 수
삼각형	3	3	3
사각형	4	4	4
오각형	5	5	5
육각형	6	6	6
n각형	n	n	n

2. 정다각형이란?

정다각형은 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같은 다각형입니다.

• 정삼각형: 세 변 같음, 세 각 = 60°
• 정사각형: 네 변 같음, 네 각 = 90°
• 정오각형: 다섯 변 같음, 다섯 각 = 108°
• 정육각형: 여섯 변 같음, 여섯 각 = 120°

3. 다각형의 내각의 합

n각형의 내각의 합은 다음 공식으로 구합니다.

$$내각의합=(n-2)\times 180°$$

도형	n	내각의 합	정다각형 한 각
삼각형	3	$(3-2)\times 180°=180°$	$60°$
사각형	4	$(4-2)\times 180°=360°$	$90°$
오각형	5	$(5-2)\times 180°=540°$	$108°$
육각형	6	$(6-2)\times 180°=720°$	$120°$
팔각형	8	$(8-2)\times 180°=1080°$	$135°$

공식 유도: n각형은 한 꼭짓점에서 $(n-2)$개의 삼각형으로 분할되므로 내각의 합 = $(n-2)\times 180°$

4. 대각선의 수

대각선이란 꼭짓점에서 이웃하지 않는 꼭짓점을 연결하는 선분입니다.

$$n각형의대각선수=\frac{n(n-3)}{2}$$

도형	n	대각선 수
삼각형	3	$\frac{3\times 0}{2}=0$
사각형	4	$\frac{4\times 1}{2}=2$
오각형	5	$\frac{5\times 2}{2}=5$
육각형	6	$\frac{6\times 3}{2}=9$

5. 정다각형의 둘레

$$정n각형의둘레=n\times 한변의길이$$

예: 한 변이 4cm인 정오각형의 둘레
  = 5 × 4 = 20 cm

예: 한 변이 3cm인 정육각형의 둘레
  = 6 × 3 = 18 cm

6. 실생활 속 다각형

• 벌집: 정육각형 — 가장 효율적인 공간 활용
• 축구공: 정오각형(검은색) + 정육각형(흰색) 조합
• 도로 표지판: 팔각형 (STOP 표지)
• 수정(결정): 규칙적인 다각형 구조

7. 연습 문제

1. 팔각형의 내각의 합은?
2. 정육각형의 한 내각의 크기는?
3. 칠각형의 대각선은 몇 개인가요?
4. 한 변의 길이가 7cm인 정삼각형의 둘레는?
5. 다음 도형이 다각형인지 판단하세요: ① 원 ② 삼각형 ③ 반원

정답:

1. $(8-2)\times 180°=1080°$
2. $720°÷6=120°$
3. $\frac{7\times (7-3)}{2}=\frac{7\times 4}{2}=14$개
4. $7\times 3=21$ cm
5. ①원: 다각형 아님(곡선) ② 삼각형: 다각형 ③ 반원: 다각형 아님(곡선+선분 혼합)

8. 핵심 정리

• 다각형: 선분만으로 이루어진 닫힌 도형
• 정다각형: 모든 변 같음 + 모든 각 같음
• 내각의 합 $=(n-2)\times 180°$
• 대각선 수 $=\frac{n(n-3)}{2}$
• 정n각형 둘레 $=n\times 한변$

직접 해보기 — 정다각형 생성기

변의 수(3~12) 슬라이더로 정다각형과 내각의 합·대각선 수가 자동으로 계산됩니다.

직접 해보기 — 다각형 내각의 합

변의 수 n을 입력하면 (n-2)×180° 공식과 함께 도형이 시각화됩니다.

직접 해보기 — 대각선 탐색기

꼭짓점 수를 바꾸면 대각선 수 n(n-3)/2 공식이 시각화됩니다.