도형

다각형과 정다각형 — 변의 수에 따른 도형의 세계

다각형의 정의와 종류를 배우고, 정다각형의 특징과 내각의 합 공식을 이해합니다. 대각선의 수도 알아봅니다.

매직수학

벌집은 정육각형의 완벽한 집합체이고, 축구공은 정오각형과 정육각형으로 이루어져 있습니다. 다각형은 자연과 인공 구조물 곳곳에 숨어 있는 아름다운 수학입니다.

1. 다각형이란?

다각형은 3개 이상의 선분으로 이루어진 닫힌 평면 도형입니다.

선분끼리 서로 만나지 않아야 함
곡선이 있으면 다각형이 아님 (원 제외)

이름	변의 수	꼭짓점의 수	각의 수
삼각형	3	3	3
사각형	4	4	4
오각형	5	5	5
육각형	6	6	6
n각형	n	n	n

2. 정다각형이란?

정다각형은 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같은 다각형입니다.

정삼각형: 세 변 같음, 세 각 = 60°
정사각형: 네 변 같음, 네 각 = 90°
정오각형: 다섯 변 같음, 다섯 각 = 108°
정육각형: 여섯 변 같음, 여섯 각 = 120°

3. 다각형의 내각의 합

n각형의 내각의 합은 다음 공식으로 구합니다.

내각의 합 = (n - 2) \times 180°

도형	n	내각의 합	정다각형 한 각
삼각형	3	$(3 - 2) \times 180° = 180°$	$60°$
사각형	4	$(4 - 2) \times 180° = 360°$	$90°$
오각형	5	$(5 - 2) \times 180° = 540°$	$108°$
육각형	6	$(6 - 2) \times 180° = 720°$	$120°$
팔각형	8	$(8 - 2) \times 180° = 1080°$	$135°$

공식 유도: n각형은 한 꼭짓점에서 $(n - 2)$ 개의 삼각형으로 분할되므로 내각의 합 = $(n - 2) \times 180°$

4. 대각선의 수

대각선이란 꼭짓점에서 이웃하지 않는 꼭짓점을 연결하는 선분입니다.

n 각형의 대각선 수 = \frac{n ( n - 3 )}{2}

도형	n	대각선 수
삼각형	3	$\frac{3 \times 0}{2} = 0$
사각형	4	$\frac{4 \times 1}{2} = 2$
오각형	5	$\frac{5 \times 2}{2} = 5$
육각형	6	$\frac{6 \times 3}{2} = 9$

5. 정다각형의 둘레

정 n 각형의 둘레 = n \times 한 변의 길이

예: 한 변이 4cm인 정오각형의 둘레
  = 5 × 4 = 20 cm

예: 한 변이 3cm인 정육각형의 둘레
  = 6 × 3 = 18 cm

6. 실생활 속 다각형

벌집: 정육각형 — 가장 효율적인 공간 활용
축구공: 정오각형(검은색) + 정육각형(흰색) 조합
도로 표지판: 팔각형 (STOP 표지)
수정(결정): 규칙적인 다각형 구조

7. 연습 문제

팔각형의 내각의 합은?
정육각형의 한 내각의 크기는?
칠각형의 대각선은 몇 개인가요?
한 변의 길이가 7cm인 정삼각형의 둘레는?
다음 도형이 다각형인지 판단하세요: ① 원 ② 삼각형 ③ 반원

정답:

$(8 - 2) \times 180° = 1080°$
$720° \div 6 = 120°$
$\frac{7 \times ( 7 - 3 )}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$ 개
$7 \times 3 = 21$ cm
①원: 다각형 아님(곡선) ② 삼각형: 다각형 ③ 반원: 다각형 아님(곡선+선분 혼합)

8. 핵심 정리

다각형: 선분만으로 이루어진 닫힌 도형
정다각형: 모든 변 같음 + 모든 각 같음
내각의 합 $= (n - 2) \times 180°$
대각선 수 $= \frac{n ( n - 3 )}{2}$
정n각형 둘레 $= n \times 한변$

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