문자와 식 — 미지수 x의 등장

한 자루에 500원인 연필 $x$자루의 가격은? → $500x$원. 문자를 사용하면 어떤 수에도 적용되는 보편적인 식을 만들 수 있습니다. 이것이 대수(代數, Algebra)의 시작입니다.

1. 문자를 사용한 표현

변하는 수량을 문자(주로 $x$, $y$, $a$, $b$ 등)로 나타냅니다.

말	수식
$a$의 3배	$3a$
$x$에 5를 더한 수	$x+5$
$y$에서 7을 뺀 수	$y-7$
$n$을 4로 나눈 몫	$\frac{n}{4}$
어른 $a$명, 어린이 $b$명의 입장료 (어른 5000, 어린이 3000)	$5000a+3000b$

2. 곱셈 기호 생략 규칙

• 수 × 문자: 수를 앞에 쓰고 × 생략 → $3\times x=3x$
• 1 × 문자: 1 생략 → $1\times x=x$
• −1 × 문자: 1 생략 → $-1\times x=-x$
• 문자 × 문자: 알파벳 순 → $b\times a=ab$
• 같은 문자의 곱: 거듭제곱 → $x\times x=x^2$

⚠️ 수는 반드시 앞에:  x × 3 = 3x  (3x라 쓰고, x3 ✗)
⚠️ 문자 사이에 괄호: 2 × (a+b) = 2(a+b)

3. 나눗셈 기호 생략 규칙

나눗셈은 분수로 바꾸어 표기합니다.

a ÷ 3 = a/3 = (1/3)a

(x + y) ÷ 2 = (x+y)/2

4. 식의 값 (대입)

문자에 특정 수를 넣으면 식의 값을 계산할 수 있습니다.

2x − 3y + 1  에  x=4, y=−2를 대입

= 2×(4) − 3×(−2) + 1
= 8 + 6 + 1
= 15

5. 다항식과 일차식

• 항(項): 수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식 (예: $3x$, $-2$, $5y^2$)
• 계수: 항에서 문자의 곱 앞에 있는 수 ($3x$의 계수는 3)
• 상수항: 문자가 없는 항 (예: $-2$)
• 차수: 문자가 곱해진 개수 ($x^2$의 차수는 2)
• 일차식: 최고 차수가 1인 식 (예: $3x-2$, $-x+5$)

6. 동류항과 일차식 계산

동류항: 문자와 차수가 같은 항끼리는 더하거나 뺄 수 있습니다.

3x + 5 + 2x − 8

동류항 정리:
= (3x + 2x) + (5 − 8)
= 5x − 3

4a − 2b + 3a + b
= (4a + 3a) + (−2b + b)
= 7a − b

분배법칙 활용

2(3x − 4) − 3(x + 2)

= 6x − 8 − 3x − 6
= (6x − 3x) + (−8 − 6)
= 3x − 14