정비례와 반비례 — 두 변수의 관계를 그래프로

시속 60km로 달리는 자동차가 $x$시간 동안 가는 거리 $y$는? $y=60x$. 이처럼 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 변수도 2배, 3배 되는 관계가 정비례입니다.

1. 정비례(正比例)

$x$가 2배, 3배, ... 되면 $y$도 2배, 3배, ... 되는 관계입니다.

$$y=ax(a\ne 0,a\text{는 비례상수})$$

정비례 표 예시: y = 2x

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	−6	−4	−2	0	2	4	6

정비례 그래프

• 원점(0, 0)을 지나는 직선
• $a>0$: 오른쪽 위로 올라가는 직선 (1, 3사분면)
• $a<0$: 오른쪽 아래로 내려가는 직선 (2, 4사분면)
• $|a|$가 클수록 y축에 가까워짐 (기울기 급해짐)

비례상수 구하기

y가 x에 정비례하고, x=3일 때 y=12

y = ax에 대입: 12 = a × 3  →  a = 4
따라서 y = 4x

2. 반비례(反比例)

$x$가 2배, 3배, ... 되면 $y$는 1/2배, 1/3배, ... 되는 관계입니다.

$$y=\frac{a}{x}(a\ne 0,x\ne 0)$$

이는 $xy=a$로도 쓸 수 있습니다.

반비례 표 예시: y = 6/x

x	−6	−3	−2	−1	1	2	3	6
y	−1	−2	−3	−6	6	3	2	1

반비례 그래프 — 쌍곡선

• 원점에 대칭인 두 개의 곡선 (쌍곡선)
• $a>0$: 1, 3사분면에 위치
• $a<0$: 2, 4사분면에 위치
• x축, y축에 가까워지지만 닿지 않음 (점근선)

3. 정비례 vs 반비례 구분

구분	정비례	반비례
식	$y=ax$	$y=\frac{a}{x}$
비의 규칙	$\frac{y}{x}=a$ (일정)	$xy=a$ (일정)
그래프	직선 (원점 통과)	쌍곡선
예	속력 일정할 때 거리∝시간	넓이 일정할 때 가로 반비례 세로

4. 실생활 활용

① 정비례: 1분에 3L씩 채워지는 물탱크
   y = 3x  (x:시간(분), y:물의 양(L))
   10분 후: y = 3×10 = 30L

② 반비례: 넓이가 24cm²인 직사각형의 가로와 세로
   xy = 24  →  y = 24/x
   가로가 6이면: 세로 = 24/6 = 4cm

③ 반비례: 일정 거리를 달리는 시간과 속력
   (속력)×(시간) = (거리) = 상수