정수와 유리수 — 음수의 세계로 확장하기

온도 −10°C, 지하 2층, 빚 5만원 — 우리 생활 속에는 음수가 가득합니다. 수의 세계를 양수에서 음수까지 확장하면 더 많은 문제를 풀 수 있습니다.

1. 수의 확장

이름	포함하는 수	예시
자연수	양의 정수	1, 2, 3, 4, ...
정수	음의 정수, 0, 양의 정수	..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
유리수	$\frac{m}{n}$ (n≠0, m·n 정수)	$-\frac{2}{3}$, 0.5, 2, −3, ...

⚠️ 정수는 유리수에 포함됩니다: $3=\frac{3}{1}$

2. 수직선과 절댓값

← −3  −2  −1   0  +1  +2  +3 →
         ←2→          ←2→
         |-2|=2        |2|=2

절댓값: 수직선에서 원점까지의 거리 (항상 ≥ 0)

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a& (a\ge 0)\\ -a& (a<0)\end{array}$$

|-7| = 7,  |0| = 0,  |3.5| = 3.5

3. 대소 비교

• 수직선에서 오른쪽이 더 큰 수
• 양수 > 0 > 음수
• 음수끼리: 절댓값이 클수록 더 작다

−5 < −2 < 0 < 1 < 3

|−5| = 5 > |−2| = 2 이지만  −5 < −2

4. 덧셈과 뺄셈

덧셈 규칙

같은 부호: 절댓값 더하고 공통 부호
(+3) + (+5) = +8

다른 부호: 절댓값 빼고 절댓값 큰 쪽 부호
(+3) + (−7) = −4   (7−3=4, 음수 부호)
(−3) + (−5) = −8

뺄셈 규칙 — 빼는 수의 부호를 바꿔 더한다

(+5) − (+3) = (+5) + (−3) = +2
(+2) − (−6) = (+2) + (+6) = +8
(−4) − (+3) = (−4) + (−3) = −7

5. 곱셈과 나눗셈

부호	결과	예
(+) × (+)	(+)	$3\times 4=12$
(+) × (−)	(−)	$3\times (-4)=-12$
(−) × (−)	(+)	$(-3)\times (-4)=12$

음수의 개수가 짝수이면 결과는 양수, 홀수이면 음수

(−2)² = (−2)×(−2) = +4   (음수 2개 → 양수)
(−2)³ = (−2)×(−2)×(−2) = −8   (음수 3개 → 음수)
−2² = −(2×2) = −4   ← 주의! 부호는 제곱 밖에 있음

6. 분배법칙

$$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$$

(−3) × (5 + (−2)) = (−3)×5 + (−3)×(−2)
                  = −15 + 6 = −9