입체도형 — 다면체, 회전체, 겉넓이와 부피

우리 주변의 모든 물체는 입체도형입니다. 두부는 직육면체, 농구공은 구, 아이스크림 콘은 원뿔. 이 도형들의 겉넓이와 부피를 계산할 수 있다면 재료 낭비 없이 정확한 설계가 가능합니다.

1. 다면체(多面體)

평면인 면(다각형)으로만 둘러싸인 입체도형입니다.

이름	면 수	꼭짓점	모서리	오일러: V−E+F
삼각기둥	5	6	9	2 ✓
사각기둥	6	8	12	2 ✓
삼각뿔	4	4	6	2 ✓
사각뿔	5	5	8	2 ✓

정다면체 — 딱 5종류만 존재

이름	면	면 수	꼭짓점	모서리
정사면체	정삼각형	4	4	6
정육면체	정사각형	6	8	12
정팔면체	정삼각형	8	6	12
정십이면체	정오각형	12	20	30
정이십면체	정삼각형	20	12	30

2. 회전체(回轉體)

평면도형을 한 직선(회전축) 주위로 회전시킬 때 만들어지는 입체도형입니다.

회전하는 도형	만들어지는 입체
직사각형	원기둥
직각삼각형	원뿔
반원	구
사다리꼴	원뿔대

3. 겉넓이와 부피 공식

도형	겉넓이	부피
직육면체 (l×w×h)	$2(lw+wh+lh)$	$lwh$
원기둥 (r, h)	$2\pi r^2+2\pi rh$	$\pi r^{2}h$
원뿔 (r, h, 모선 l)	$\pi r^2+\pi rl$	$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
구 (r)	$4\pi r^2$	$\frac{4}{3}\pi r^3$
n각기둥	밑면 2개 + 옆면	밑넓이 × 높이
n각뿔	밑면 1개 + 옆면	$\frac{1}{3}$ × 밑넓이 × 높이

4. 예제 계산

반지름 3cm, 높이 4cm인 원기둥:
모선 l = √(r² + h²) = √(9+16) = 5cm (원뿔인 경우)

원기둥:
  겉넓이 = 2π×3² + 2π×3×4 = 18π + 24π = 42π cm²
  부피 = π×3²×4 = 36π cm³

원뿔:
  겉넓이 = π×3² + π×3×5 = 9π + 15π = 24π cm²
  부피 = (1/3)×π×3²×4 = 12π cm³

구 (반지름 3cm):
  겉넓이 = 4π×9 = 36π cm²
  부피 = (4/3)π×27 = 36π cm³

5. 뿔의 부피 = 기둥 부피의 1/3

같은 밑면과 높이를 가진 뿔의 부피는 기둥 부피의 $\frac{1}{3}$입니다.

같은 밑면, 같은 높이:
원뿔 부피 = (1/3) × 원기둥 부피
삼각뿔 부피 = (1/3) × 삼각기둥 부피