평면도형의 성질 — 다각형과 원의 넓이·둘레

삼각형의 내각의 합은 180°, 사각형은 360°, 오각형은 540°... 규칙이 보이나요? $n$각형의 내각의 합은 $(n-2)\times 180°$입니다. 이 공식 하나로 모든 다각형을 다룰 수 있습니다.

1. 다각형의 내각의 합

$n$각형은 꼭짓점에서 대각선을 그으면 $(n-2)$개의 삼각형으로 나뉩니다.

$$\text{내각의 합}=(n-2)\times 180°$$

도형	n	내각의 합	정다각형의 한 내각
삼각형	3	180°	60°
사각형	4	360°	90°
오각형	5	540°	108°
육각형	6	720°	120°
n각형	n	$(n-2)\times 180°$	$\frac{(n-2)\times 180°}{n}$

2. 다각형의 외각의 합

볼록 다각형에서 외각의 합은 항상 360°입니다.

오각형: 외각의 합 = 360°
각 꼭짓점에서 내각 + 외각 = 180°이므로
내각의 합 + 외각의 합 = 5 × 180° = 900°
외각의 합 = 900° − 540° = 360°  ✓

3. 원(圓)

• 원주율 $\pi \approx \mathrm{3.14159...}$
• 원주(둘레): $C=2\pi r=\pi d$
• 넓이: $S=\pi r^2$

4. 부채꼴(扇形)

반지름 $r$, 중심각 $\theta$°인 부채꼴:

$$\text{호의 길이}l=2\pi r\times \frac{\theta }{360}$$

$$\text{넓이}S=\pi r^2\times \frac{\theta }{360}=\frac{1}{2}rl$$

반지름	중심각	호의 길이	넓이
6 cm	120°	$2\pi \times 6\times \frac{120}{360}=4\pi$ cm	$\pi \times 36\times \frac{1}{3}=12\pi$ cm²
4 cm	90°	$2\pi \times 4\times \frac{1}{4}=2\pi$ cm	$\pi \times 16\times \frac{1}{4}=4\pi$ cm²

넓이 공식 $S=\frac{1}{2}rl$ 유도

S = πr² × θ/360 = πr² × (2πr × θ/360) / (2πr)
  = (1/2)r × (2πr × θ/360)
  = (1/2)r × l

5. 색칠된 도형의 넓이

반지름 8cm인 원에서 중심각 270°인 부채꼴의 넓이:
S = π × 8² × 270/360 = π × 64 × 3/4 = 48π cm²

도넛 모양 (바깥 반지름 5cm, 안쪽 반지름 3cm):
S = π × 5² − π × 3² = 25π − 9π = 16π cm²