작도와 합동 — 컴퍼스와 자로 도형 만들기

고대 그리스 수학자들은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 온갖 도형을 만들었습니다. 이 두 도구로 할 수 있는 것: 같은 길이 옮기기, 각의 이등분, 수직이등분선 — 이것이 작도의 핵심입니다.

1. 작도 도구와 기본 원칙

• 자: 두 점을 직선으로 잇는 용도 (눈금 사용 금지)
• 컴퍼스: 원 그리기, 길이 옮기기

2. 기본 작도

① 선분의 수직이등분선

선분 AB의 수직이등분선 작도:
1. A를 중심으로 AB보다 긴 반지름으로 원호 그리기
2. B를 중심으로 같은 반지름으로 원호 그리기
3. 두 원호의 교점 P, Q를 직선으로 연결
→ PQ는 AB의 수직이등분선 (AB ⊥ PQ, AM = MB)

② 각의 이등분선

각 AOB의 이등분선 작도:
1. O를 중심으로 원호를 그려 두 변과의 교점 P, Q 구하기
2. P, Q를 각각 중심으로 같은 반지름으로 원호 그리기
3. 두 원호의 교점 R과 O를 연결
→ OR은 각 AOB의 이등분선

③ 평행선 작도

직선 l 위의 점 P에서 l에 평행한 직선:
동위각을 이용하여 같은 각도를 작도

3. 삼각형의 합동(合同)

두 삼각형이 완전히 겹쳐질 때 합동이라고 합니다. 기호: △ABC ≅ △DEF

합동인 두 삼각형은 대응하는 변의 길이와 각의 크기가 모두 같습니다.

4. 삼각형의 합동 조건

조건	이름	내용
SSS	세 변의 길이가 같을 때	$AB=DE$, $BC=EF$, $CA=FD$
SAS	두 변의 길이와 그 끼인각이 같을 때	$AB=DE$, $\angle B=\angle E$, $BC=EF$
ASA	한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때	$\angle B=\angle E$, $BC=EF$, $\angle C=\angle F$

SSS, SAS, ASA가 아닌 경우

⚠️ SSA (두 변 + 대각)는 합동 조건이 아님
   같은 SSA로도 서로 다른 삼각형이 만들어질 수 있음

⚠️ AAA (세 각)는 닮음 조건이지 합동 조건이 아님

5. 합동 증명 예시

△ABD ≅ △CBD 임을 증명하시오. (BD는 공통, AB=CB, AD=CD)

△ABD와 △CBD에서
① AB = CB (주어짐)
② BD = BD (공통)
③ AD = CD (주어짐)

SSS에 의해 △ABD ≅ △CBD  ∎