삼각비 — sin·cos·tan과 실생활 측량

이집트의 피라미드 높이를 어떻게 쟀을까요? 직접 오르지 않고도 그림자 길이와 각도만으로 구했습니다. 이것이 삼각비의 실용적인 힘입니다.

1. 삼각비의 정의

직각삼각형에서 직각을 제외한 한 각 $\theta$에 대해:

         빗변(hypotenuse) c
        /|
       / |
 빗변 /  | 높이(opposite) b
     /θ  |
    /____| 
   밑변(adjacent) a

$$\sin \theta =\frac{b}{c}=\frac{\text{높이}}{\text{빗변}}$$

$$\cos \theta =\frac{a}{c}=\frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$$

$$\tan \theta =\frac{b}{a}=\frac{\text{높이}}{\text{밑변}}$$

2. 삼각비의 관계

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

sin²θ + cos²θ = b²/c² + a²/c² = (a²+b²)/c² = c²/c² = 1  ✓

3. 특수각의 삼각비

각도 $\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	1	0	정의 안 됨

암기 트릭 — sin 값만 외우면

sin:  0, 1/2, √2/2, √3/2, 1
cos:  sin의 반대 순서 (cos θ = sin(90°−θ))
tan:  sin/cos

4. 변의 길이 구하기

직각삼각형에서 ∠A=30°, 빗변 AC=10cm일 때 BC의 길이:

sin30° = BC/AC
1/2 = BC/10
BC = 5cm

∠A=45°, 밑변 AB=8cm일 때 빗변:
cos45° = AB/빗변
√2/2 = 8/빗변
빗변 = 8÷(√2/2) = 16/√2 = 8√2 cm

5. 넓이 공식에 삼각비 적용

두 변의 길이 $a$, $b$와 그 끼인각 $C$가 주어졌을 때:

$$\text{넓이}=\frac{1}{2}ab\sin C$$

두 변이 6cm, 8cm이고 끼인각이 30°인 삼각형의 넓이:
S = (1/2) × 6 × 8 × sin30°
  = (1/2) × 6 × 8 × (1/2)
  = 12 cm²

6. 실생활 — 높이·거리 측량

① 앙각(올려다보는 각)
지면에서 30m 떨어진 곳에서 건물 꼭대기의 앙각이 60°:
tan60° = 높이/30
√3 = h/30
h = 30√3 ≈ 51.96m

② 부각(내려다보는 각)
절벽 위 40m 높이에서 배를 내려다보는 부각이 45°:
tan45° = 40/수평거리
1 = 40/d → d = 40m