제곱근과 실수 — √2는 어디에 있을까?

$\sqrt{2}$는 1과 2 사이에 있는 수입니다. 하지만 정확히 어디에 있을까요? 분수로도 표현할 수 없는 이 수는 어떻게 수직선 위의 점이 될 수 있을까요? 제곱근을 통해 실수 전체를 이해합니다.

1. 제곱근(Square Root)이란?

어떤 수 $x$를 제곱하여 $a$가 될 때, $x$를 $a$의 제곱근이라 합니다.

$$x^2=a\iff x=\pm \sqrt{a}(a\ge 0)$$

$a$	제곱근	양의 제곱근	음의 제곱근
4	±2	$\sqrt{4}=2$	$-\sqrt{4}=-2$
9	±3	$\sqrt{9}=3$	$-\sqrt{9}=-3$
2	$\pm \sqrt{2}$	$\sqrt{2}\approx 1.414$	$-\sqrt{2}$
0	0	0	0

⚠️ 음수의 제곱근은 실수에서 존재하지 않습니다. $\sqrt{-1}$은 실수가 아닙니다.

2. 제곱근의 성질

$$\sqrt{a^2}=|a|=\{\begin{array}{ll}a& (a\ge 0)\\ -a& (a<0)\end{array}$$

√(3²) = |3| = 3
√((−3)²) = |−3| = 3    ← √9 = 3 이지 −3이 아님!
√(0.25) = √(0.5²) = 0.5

3. 제곱근의 곱셈·나눗셈

$$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a,b\ge 0)$$

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0,b>0)$$

√3 × √5 = √15
√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3

√18 / √2 = √(18/2) = √9 = 3

4. 제곱근의 덧셈·뺄셈

루트 안의 수가 같은 항끼리만 더하거나 뺄 수 있습니다.

3√2 + 5√2 = 8√2
7√3 − 2√3 = 5√3

2√3 + √12 = 2√3 + 2√3 = 4√3  (√12 = 2√3로 변환)

√5 + √3  ← 루트 안이 달라 더 이상 정리 불가

5. 분모의 유리화

분모에 루트가 있으면 분자·분모에 같은 루트를 곱해 분모를 유리수로 만듭니다.

  1      1 × √3       √3
─── = ────────── = ─────
 √3    √3 × √3       3

  5      5 × √2       5√2       5√2
─── = ────────── = ──────  = ────
 √2    √2 × √2       2          2

  2       2(√5+√3)       2(√5+√3)       √5+√3
───── = ──────────── = ────────── = ─────────
√5−√3   (√5−√3)(√5+√3)    5−3              1

6. 무리수와 실수

수의 분류	내용	예시
유리수	분수 $p/q$로 표현 가능 (유한·순환소수)	$\frac{1}{2}$, $0.\dot{3}$, $-5$
무리수	분수로 표현 불가 (비순환 무한소수)	$\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{5}$
실수	유리수 + 무리수	수직선 위의 모든 점

수직선은 빈틈 없이 실수로 채워집니다.

7. 실수의 대소 비교

√5와 2.2의 비교:
√5 = √5, 2.2² = 4.84
5 > 4.84 → √5 > 2.2

3+√2와 5의 비교:
√2 ≈ 1.414 → 3+√2 ≈ 4.414 < 5

일반 방법: a−b의 부호로 판단
(3+√2)−5 = √2−2 = √2−√4 < 0 (∵ 2 < 4)
→ 3+√2 < 5