다항식의 인수분해 — 곱셈 공식을 역방향으로

$x^2+5x+6$을 보면 어떤 두 수의 합이 5이고 곱이 6인지 떠올려야 합니다. 2와 3이죠! 따라서 $(x+2)(x+3)$. 이것이 인수분해의 핵심 아이디어입니다.

1. 인수분해란?

다항식을 더 단순한 인수(因數)들의 곱으로 나타내는 것입니다.

전개의 역과정:

$$\underset{\text{인수분해}}{\underbrace{(x+2)(x+3)}}\stackrel{\text{전개}}{\leftrightarrow }\underset{\text{전개식}}{\underbrace{x^2+5x+6}}$$

2. 공통인수 묶기

모든 항에 공통으로 있는 인수를 앞으로 꺼냅니다.

2x² + 4x = 2x(x + 2)
3a²b − 6ab² = 3ab(a − 2b)
x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)

3. 인수분해 공식 4가지

#	공식	예시
①	$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$	$x^2+6x+9=(x+3{)}^2$
②	$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$	$x^2-8x+16=(x-4{)}^2$
③	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$	$x^2-25=(x+5)(x-5)$
④	$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$	$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

완전제곱식 판별 (공식 ①②)

x² + 10x + □ 가 완전제곱식이 되려면?
(x + a)² = x² + 2ax + a²
2a = 10 → a = 5, a² = 25
∴ □ = 25, x² + 10x + 25 = (x+5)²

4. 이차식 인수분해 (공식 ④ 응용)

$x^2+px+q$에서 합이 $p$, 곱이 $q$인 두 수 $a$, $b$를 찾습니다.

x² + 7x + 12
두 수: 합=7, 곱=12 → 3과 4
= (x + 3)(x + 4)  ✓

x² − x − 6
두 수: 합=−1, 곱=−6 → −3과 2
= (x − 3)(x + 2)  ✓

x² − 5x + 6
두 수: 합=−5, 곱=6 → −2와 −3
= (x − 2)(x − 3)  ✓

5. 계수가 1이 아닌 이차식

2x² + 7x + 3

acx² + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)
곱해서 2×3=6, 더해서 7이 되는 쌍 찾기:
(2x + 1)(x + 3) → 2×3 + 1×1 = 7 ✓

6x² − x − 2
= (2x+1)(3x−2)  확인: 2×(−2)+1×3 = −4+3 = −1 ✓

6. 치환을 이용한 인수분해

(x+1)² + 3(x+1) + 2
A = x+1 로 치환:
A² + 3A + 2 = (A+1)(A+2)
              = (x+2)(x+3)

x⁴ − 5x² + 4
A = x² 로 치환:
A² − 5A + 4 = (A−1)(A−4)
             = (x²−1)(x²−4)
             = (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)

7. 인수분해 활용 — 방정식 풀기

x² − 5x + 6 = 0
(x−2)(x−3) = 0
x = 2 또는 x = 3

x² = 4x
x² − 4x = 0
x(x−4) = 0
x = 0 또는 x = 4