확률 — 가능성을 수로 나타내기

주사위를 던질 때 6이 나올 확률은 $\frac{1}{6}$. 이 단순한 수가 보험료, 날씨 예보, 의약품 임상 시험을 모두 지배합니다. 확률은 불확실성을 정확하게 측정하는 도구입니다.

1. 확률의 정의

어떤 시행에서 각 경우가 일어날 가능성이 같을 때:

$$P(A)=\frac{\text{사건 A가 일어나는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}$$

주사위 한 개: 전체 경우의 수 = 6
짝수(2,4,6)가 나올 확률 = 3/6 = 1/2
소수(2,3,5)가 나올 확률 = 3/6 = 1/2
6이 나올 확률 = 1/6

2. 확률의 성질

• $0\le P(A)\le 1$ (확률은 항상 0~1 사이)
• 반드시 일어나는 사건: $P=1$ (전사건)
• 절대 일어나지 않는 사건: $P=0$ (공사건)

3. 여사건의 확률

사건 A의 여사건 $A^c$ (A가 일어나지 않는 사건):

$$P(A^c)=1-P(A)$$

'적어도 하나' 문제는 여사건 활용이 편리:

동전 3개 던질 때 적어도 앞면 1개 나올 확률:
P(적어도 앞면 1개) = 1 − P(모두 뒷면)
= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8

4. 덧셈 법칙

두 사건 A, B가 서로 배타적(동시에 일어날 수 없음)이면:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

주사위에서 1 또는 6이 나올 확률:
1이 나올 확률 = 1/6
6이 나올 확률 = 1/6
(동시에 1이면서 6은 불가능 → 서로 배타적)
P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

5. 독립사건의 곱셈 법칙

사건 A와 B가 서로 독립(한 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않음)이면:

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

동전과 주사위를 동시에 던질 때
앞면이고 주사위가 짝수일 확률:
P(앞면) × P(짝수) = 1/2 × 1/2 = 1/4

빨간 구슬 3개, 파란 구슬 5개인 주머니에서
복원 추출로 2번 모두 빨간 구슬:
P = 3/8 × 3/8 = 9/64

6. 비복원 추출 (종속사건)

빨간 3개, 파란 5개 (총 8개) 비복원 추출 2번:
P(둘 다 빨간) = 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28

(첫 번째 빨간을 뽑으면 남은 빨간은 2개, 전체는 7개)

7. 경우의 수 기반 계산

52장 카드에서 1장 뽑을 때:
P(하트) = 13/52 = 1/4
P(에이스) = 4/52 = 1/13
P(하트 에이스) = 1/52

두 주사위 합이 7이 될 확률:
합이 7인 경우: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6가지
전체: 6×6=36
P = 6/36 = 1/6