이차함수 — 포물선 그래프 완전 정복

공을 던지면 포물선을 그립니다. 물분수의 궤적, 위성 안테나의 단면, 현수교의 케이블 — 모두 포물선입니다. 이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$가 포물선을 완벽하게 설명합니다.

1. 이차함수의 기본형 y = ax²

• 꼭짓점: 원점 (0, 0)
• 대칭축: y축 ($x=0$)
• $a>0$: 아래로 볼록 (최솟값 0)
• $a<0$: 위로 볼록 (최댓값 0)
• $|a|$가 클수록 그래프가 좁아짐

y = x², y = 2x²: 같은 꼭짓점, y=2x²이 더 좁음
y = −x²: y=x²를 x축 기준으로 뒤집은 모양

2. 평행이동: y = a(x−p)² + q

$y=a{x}^2$를 x축 방향으로 $p$, y축 방향으로 $q$만큼 이동한 것입니다.

• 꼭짓점: $(p,q)$
• 대칭축: $x=p$

y = 2(x−3)² + 1
꼭짓점: (3, 1), 대칭축: x=3
a=2 > 0 → 아래로 볼록, 최솟값 1

y = −(x+2)² + 4
꼭짓점: (−2, 4), 대칭축: x=−2
a=−1 < 0 → 위로 볼록, 최댓값 4

3. 일반형 y = ax²+bx+c → 표준형 변환

완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점을 찾습니다.

y = x² − 4x + 7

= (x² − 4x + 4) − 4 + 7   ← (−4/2)²=4 더하고 빼기
= (x − 2)² + 3

꼭짓점: (2, 3), 대칭축: x=2

y = 2x² + 8x − 3

= 2(x² + 4x) − 3
= 2(x² + 4x + 4 − 4) − 3
= 2(x+2)² − 8 − 3
= 2(x+2)² − 11

꼭짓점: (−2, −11), 대칭축: x=−2

꼭짓점 공식 (외워도 됨)

$y=a{x}^2+bx+c$의 꼭짓점 $x$ 좌표:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

4. 최댓값·최솟값

y = −x² + 4x − 1  (x의 범위 없을 때)
= −(x−2)² + 3
a < 0이므로 위로 볼록 → 최댓값 = 3  (x=2일 때)
최솟값 없음 (−∞)

y = x² − 6x + 5,  0 ≤ x ≤ 5
= (x−3)² − 4
꼭짓점 x=3 (범위 내) → 최솟값 = −4
x=0일 때 y=5, x=5일 때 y=0
→ 최댓값 = 5  (x=0일 때)

5. 이차함수와 x축의 관계

이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 판별식 $D$와 그래프의 위치:

$D$	x축과의 관계	x절편 개수
$D>0$	두 점에서 교차	2개
$D=0$	한 점에서 접함 (꼭짓점이 x축 위)	1개
$D<0$	만나지 않음	0개

6. 이차함수 그래프 그리는 순서

y = x² − 2x − 3

① 표준형 변환: (x−1)² − 4
② 꼭짓점: (1, −4)
③ y절편: x=0 대입 → y=−3 → (0, −3)
④ x절편: y=0 → x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0
         → (3, 0), (−1, 0)
⑤ 대칭축 x=1 기준 대칭점 그리기
⑥ 매끄러운 포물선 연결