이차방정식 — 근의 공식으로 모든 이차방정식을

$a{x}^2+bx+c=0$. 이차방정식은 답이 최대 2개입니다. 인수분해로 못 풀면 근의 공식이라는 만능 열쇠가 있습니다. 어떤 이차방정식도 이 공식이면 풀립니다.

1. 이차방정식이란?

$a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) 꼴의 방정식입니다.

이차방정식: x² − 5x + 6 = 0,  2x² + 3x = 0,  x² = 4
이차방정식 아님: x² + x = x²  (이차항 소거 → 일차)

2. 방법 ① 인수분해법

x² − 7x + 12 = 0
(x − 3)(x − 4) = 0
x = 3 또는 x = 4

2x² + x − 3 = 0
(2x + 3)(x − 1) = 0
x = −3/2 또는 x = 1

3. 방법 ② 제곱근법

$x^2=k$ 꼴이면 바로 제곱근을 취합니다.

x² = 7  →  x = ±√7

(x − 2)² = 9
x − 2 = ±3
x = 5 또는 x = −1

(x + 1)² = 5
x = −1 ± √5

4. 방법 ③ 완전제곱식법

좌변을 $(x+p{)}^2$ 꼴로 변형하는 방법입니다.

x² + 6x + 1 = 0

x² + 6x = −1
x² + 6x + 9 = −1 + 9   ← 양변에 (6/2)²=9 더하기
(x + 3)² = 8
x + 3 = ±2√2
x = −3 ± 2√2

5. 방법 ④ 근의 공식 (만능 공식)

$$a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

2x² − 3x − 2 = 0  (a=2, b=−3, c=−2)

x = (3 ± √(9+16)) / 4
  = (3 ± √25) / 4
  = (3 ± 5) / 4

x = 8/4 = 2  또는  x = −2/4 = −1/2

x² + 2x − 1 = 0  (a=1, b=2, c=−1)

x = (−2 ± √(4+4)) / 2
  = (−2 ± 2√2) / 2
  = −1 ± √2

6. 판별식 D

$$D=b^2-4ac$$

D의 값	해의 개수	의미
$D>0$	서로 다른 두 실수 해	포물선이 x축과 두 점에서 교차
$D=0$	하나의 중근	포물선이 x축에 접함
$D<0$	실수 해 없음	포물선이 x축과 만나지 않음

x² − 4x + 4 = 0:  D = 16−16 = 0 → 중근 x = 2
x² − 4x + 5 = 0:  D = 16−20 = −4 < 0 → 실수 해 없음
x² − 4x + 3 = 0:  D = 16−12 = 4 > 0 → 두 실수 해

7. 근과 계수의 관계 (비에타 공식)

$a{x}^2+bx+c=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대해:

$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$

x² − 5x + 6 = 0의 두 근의 합과 곱:
합 = 5/1 = 5,  곱 = 6/1 = 6  (실제: 2+3=5, 2×3=6 ✓)

두 근의 합=3, 곱=−4인 이차방정식 만들기:
x² − (합)x + (곱) = 0
x² − 3x − 4 = 0