원의 성질 — 현·원주각·접선의 모든 것

원은 수학에서 가장 완벽한 도형입니다. 원 위의 어떤 점에서 같은 호를 바라보는 원주각은 항상 같습니다. 이 단순한 사실에서 놀라운 성질들이 펼쳐집니다.

1. 원과 현(弦)

• 현: 원 위의 두 점을 잇는 선분
• 지름: 원의 중심을 지나는 현 (가장 긴 현)

현의 수직이등분선

원에서 현의 수직이등분선은 반드시 원의 중심을 지납니다.

활용: 세 점이 주어졌을 때 원의 중심 찾기
→ 임의의 두 현을 그리고 각각의 수직이등분선 교점이 원의 중심

원의 중심에서 현까지의 거리

• 원의 중심에서 현까지의 거리가 같으면 두 현의 길이가 같습니다.
• 한 원에서 현의 길이가 같으면 중심에서 현까지 거리가 같습니다.

반지름 5, 중심에서 현까지 거리 3이면
현의 반 길이 = √(5²−3²) = √16 = 4
현의 전체 길이 = 8

2. 원주각과 중심각

중심각: 호의 두 끝점과 원의 중심이 이루는 각

원주각: 호의 두 끝점과 원 위의 다른 한 점이 이루는 각

$$\text{원주각}=\frac{1}{2}\times \text{중심각}$$

호 AB에 대한 중심각 ∠AOB = 80°이면
같은 호 AB에 대한 원주각 ∠APB = 40° (P는 원 위의 점)

원주각의 성질

• 같은 호에 대한 원주각은 모두 같습니다.
• 반원에 대한 원주각 = 90° (지름 위의 원주각은 직각)

AB가 지름이면 원 위의 모든 점 P에서 ∠APB = 90°

원주각 ∠APB = ∠AQB (P, Q 모두 원 위의 점, 같은 호)

3. 원에 내접하는 사각형

원에 내접하는 사각형의 성질:

• 마주보는 두 내각의 합 = 180°

$$\angle A+\angle C=180°,\angle B+\angle D=180°$$

원에 내접하는 사각형 ABCD에서 ∠A = 75°이면
∠C = 180° − 75° = 105°

역: 마주보는 두 각의 합이 180°이면 원에 내접

4. 접선(接線)

원과 한 점에서만 만나는 직선을 접선, 그 점을 접점이라 합니다.

• 접선 ⊥ 반지름: 접선은 접점에서의 반지름에 수직
• 접선의 길이: 외부 점에서 두 접점까지의 거리가 같음

외부 점 P에서 원에 두 접선을 그을 때 접점 A, B:
PA = PB  (접선의 길이 같음)

반지름 r, 원의 중심에서 외부 점까지 거리 d:
접선의 길이 = √(d² − r²)

5. 접선과 현이 이루는 각 (접선-현 각도)

접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 원주각

접선 PT와 현 AB가 이루는 각 ∠PAB
= 호 AB에 대한 원주각 ∠ACB (원의 반대쪽에서)

(탄젠트-현 정리)