삼각함수 — 호도법, 그래프, 덧셈정리

진동, 파동, 음파, 빛 — 세상의 모든 주기 현상은 삼각함수로 표현됩니다. 고등수학 삼각함수는 중학교의 직각삼각형을 넘어, 모든 각도에서 정의되는 일반적인 함수로 확장됩니다.

1. 호도법 (Radian)

반지름이 $r$인 원에서 호의 길이가 $r$일 때 중심각 = 1 radian

$$180°=\pi \text{ (rad)},1°=\frac{\pi }{180}\text{ (rad)}$$

도(°)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	180°	270°	360°
라디안	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	π	3π/2	2π

부채꼴: 반지름 r, 중심각 θ(rad)
  호의 길이: l = rθ
  넓이:     S = (1/2)r²θ = (1/2)rl

2. 삼각함수의 정의 (단위원)

단위원($r=1$) 위의 점 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$:

$$\sin \theta =y,\cos \theta =x,\tan \theta =\frac{y}{x}$$

부호 (사분면)

사분면	sin	cos	tan
1	+	+	+
2	+	−	−
3	−	−	+
4	−	+	−

삼각함수의 값

$\theta$	0	π/6	π/4	π/3	π/2
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan	0	1/√3	1	√3	불능

항등식

sin²θ + cos²θ = 1
tan θ = sinθ / cosθ
1 + tan²θ = 1/cos²θ

3. 삼각함수의 그래프

$y=\sin x$와 $y=\cos x$

주기: 2π,  최댓값: 1,  최솟값: −1
y = A sin(Bx + C) + D
  |A|: 진폭
  2π/|B|: 주기
  −C/B: 위상(가로 이동)
  D: 세로 이동

y = 2sin(3x − π/2) + 1:
  진폭 2, 주기 2π/3, 위상 π/6 오른쪽, 1 위 이동

$y=\tan x$

주기: π
점근선: x = π/2 + nπ (n은 정수)
-π/2 < x < π/2에서 순증가

4. 삼각함수 변환

sin(π/2 − θ) = cosθ      cos(π/2 − θ) = sinθ
sin(π − θ)   = sinθ      cos(π − θ)   = −cosθ
sin(π + θ)   = −sinθ     cos(π + θ)   = −cosθ
sin(−θ)      = −sinθ     cos(−θ)      = cosθ
sin(2π + θ)  = sinθ      cos(2π + θ)  = cosθ

5. 사인법칙과 코사인법칙

사인법칙

삼각형 $ABC$에서 외접원 반지름 $R$:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

코사인법칙

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

b=5, c=7, A=60°일 때 a:
a² = 25+49−2·5·7·cos60° = 74−35 = 39
a = √39

삼각형의 넓이

$$S=\frac{1}{2}bc\sin A$$

6. 덧셈정리

sin(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
cos(α±β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)

2배각:
  sin2α = 2sinα cosα
  cos2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1

반각:
  sin²(α/2) = (1−cosα)/2
  cos²(α/2) = (1+cosα)/2

sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4