수열 — 등차·등비수열, Σ, 수학적 귀납법

1, 2, 4, 8, 16, … 다음 수는? 32입니다. 이렇게 규칙이 있는 수의 나열이 수열입니다. 자연 현상, 컴퓨터 알고리즘, 금융 계산에 두루 등장하는 핵심 개념입니다.

1. 등차수열 (Arithmetic Sequence)

연속하는 두 항의 차(공차 $d$)가 일정한 수열

첫째 항 $a$, 공차 $d$일 때:

$$a_n=a+(n-1)d$$

$$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)=\frac{n}{2}(a+a_n)$$

3, 7, 11, 15, 19, …  (a=3, d=4)
a_n = 3 + (n−1)·4 = 4n−1
a₁₀ = 4·10−1 = 39

S₁₀ = 10/2·(3+39) = 5·42 = 210
또는 S₁₀ = 10/2·(2·3 + 9·4) = 5·42 = 210

등차중항

$a,b,c$가 등차수열 ⟺ $2b=a+c$

2. 등비수열 (Geometric Sequence)

연속하는 두 항의 비(공비 $r$)가 일정한 수열

첫째 항 $a$, 공비 $r$일 때:

$$a_n=a{r}^{n-1}$$

$$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{a(r^n-1)}{r-1}& (r\ne 1)\\ na& (r=1)\end{array}$$

2, 6, 18, 54, …  (a=2, r=3)
a_n = 2·3^(n−1)
a₅ = 2·3⁴ = 162

S₅ = 2(3⁵−1)/(3−1) = 2·242/2 = 242

등비중항

$a,b,c$가 등비수열 ⟺ $b^2=ac$

3. Σ (시그마) 표기법

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\cdots +a_n$$

기본 공식

Σk     = n(n+1)/2
Σk²    = n(n+1)(2n+1)/6
Σk³    = [n(n+1)/2]²
Σc     = cn  (c는 상수)
Σ(ca_k) = cΣa_k
Σ(a_k±b_k) = Σa_k ± Σb_k

Σ(k=1→10) (3k²−2k+1)
= 3·Σk² − 2·Σk + Σ1
= 3·(10·11·21/6) − 2·(10·11/2) + 10
= 3·385 − 110 + 10
= 1155 − 110 + 10 = 1055

4. 여러 가지 수열의 합

분수 형태의 수열 (부분분수)

1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)

Σ(k=1→n) 1/(k(k+1))
= (1−1/2) + (1/2−1/3) + ... + (1/n − 1/(n+1))
= 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)

군수열 전략

1 | 2,3 | 4,5,6 | 7,8,9,10 | ...
제k군: k개의 항, 첫 항은 k(k-1)/2 + 1

제n항이 어느 군에 있는지: k(k-1)/2 < n ≤ k(k+1)/2

5. 점화식 (귀납적 정의)

① a_{n+1} = a_n + d (등차)
   → a_n = a_1 + (n-1)d

② a_{n+1} = r·a_n (등비)
   → a_n = a_1 · r^(n-1)

③ a_{n+1} = a_n + f(n) 형태
   a_n = a_1 + Σ(k=1→n-1) f(k)

④ a_{n+1} = p·a_n + q  (p≠1)
   치환: b_n = a_n + q/(1-p)
   → b_{n+1} = p·b_n  (등비로 변환)

a₁=2, a_{n+1} = 2a_n + 3  풀기:
b_n = a_n + 3 → b_{n+1} = a_{n+1}+3 = 2a_n+6 = 2(a_n+3) = 2b_n
b_n은 공비 2인 등비수열, b_1 = a_1+3 = 5
b_n = 5·2^(n-1) → a_n = 5·2^(n-1) − 3

6. 수학적 귀납법

단계:
① n=1(또는 초기값)에서 성립함을 보인다
② n=k에서 성립한다고 가정하면 n=k+1에서도 성립함을 보인다
③ ①②에 의해 모든 자연수 n에서 성립

증명 예) 1+2+...+n = n(n+1)/2
① n=1: 좌변=1, 우변=1·2/2=1  ✓
② n=k에서 성립 가정: 1+2+...+k = k(k+1)/2
   n=k+1: 좌변 = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2 = (k+1)((k+1)+1)/2  ✓