지수와 로그 — 거듭제곱근부터 상용로그까지

소리의 크기를 dB(데시벨)로 표현하고, 지진 규모를 리히터 척도로 나타내는 것 — 이것이 모두 로그입니다. 기하급수적 성장을 다루는 지수, 그 역인 로그는 과학·공학·경제의 필수 도구입니다.

1. 거듭제곱근

$n$ 이 2 이상의 자연수일 때, $x^{n} = a$ 를 만족하는 $x$ 를 $a$ 의 $n$ 제곱근이라 합니다.

$n a (실수 범위에서 정의)$

조건	$n a$ 의 실수 범위
$a > 0$ , $n$ 짝수	양의 실수 1개
$a > 0$ , $n$ 홀수	양의 실수 1개
$a < 0$ , $n$ 홀수	음의 실수 1개
$a < 0$ , $n$ 짝수	실수 없음
$a = 0$	0

거듭제곱근의 성질

$a > 0$ , $b > 0$ , $m, n$ 이 2 이상의 자연수일 때:

① ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab)
② ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a/b)
③ (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
④ ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a

예) ³√4 × ³√2 = ³√8 = 2
   ⁴√(³√2) = ¹²√2

2. 지수의 확장

유리수 지수

$a > 0$ , $m$ 정수, $n$ 자연수( $n \geq 2$ )일 때:

$a^{m / n} = n a^{m} = (n a)^{m}$

8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4
27^(-1/3) = 1/27^(1/3) = 1/³√27 = 1/3
4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8

지수법칙 (실수 지수로 확장)

a^r · a^s = a^(r+s)
(a^r)^s  = a^(rs)
(ab)^r   = a^r · b^r
a^r ÷ a^s = a^(r-s)

9^(1.5) × 3^(-1) = 3³ × 3⁻¹ = 3² = 9
(√2)^6 = 2^3 = 8

3. 로그 (Logarithm)

$a > 0$ , $a \neq = 1$ , $N > 0$ 일 때:

$a^{x} = N ⟺ x = lo g_{a} N$

2³ = 8  ↔  log₂8 = 3
10² = 100  ↔  log₁₀100 = 2
3^(-1) = 1/3  ↔  log₃(1/3) = -1

로그의 성질

① log_a 1 = 0  (a¹ ≠ 1이지만 a⁰=1)
② log_a a = 1
③ log_a(MN) = log_a M + log_a N
④ log_a(M/N) = log_a M − log_a N
⑤ log_a(Mᵏ) = k·log_a M
⑥ log_a M = log_b M / log_b a  (밑 변환 공식)

log₂48 = log₂(16×3) = log₂16 + log₂3 = 4 + log₂3
log₂8 + log₂4 = 3+2 = 5
log₂(64/8) = log₂64 − log₂8 = 6−3 = 3

밑 변환 공식

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$

log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3/2

log_a b · log_b c = log_a c  (연쇄 법칙)
log₂3 × log₃8 = log₂8 = 3

4. 상용로그

밑이 10인 로그: $lo g_{10} N = lo g N$ (밑 생략)

log 1 = 0,  log 10 = 1,  log 100 = 2
log 2 ≈ 0.3010,  log 3 ≈ 0.4771

log 2000 = log(2 × 10³) = log2 + 3 ≈ 3.3010
log 0.005 = log(5 × 10⁻³) = log5 − 3

지표(정수부분) + 가수(소수부분)
log 350 ≈ 2.5441  →  지표 2, 가수 0.5441
→  350은 3자리 수 (지표 = 자리수 − 1)

핵심 정리

$a^{m / n} = n a^{m}$
$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
$lo g_{a} b = \frac{l o g b}{l o g a}$ (밑 변환)
상용로그 지표 = (정수 자리수 − 1)