미분 — 도함수와 함수의 분석

자동차의 속도계는 매 순간의 속도를 보여줍니다. 이것이 바로 미분입니다. 위치 함수를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도 — 미분은 변화의 순간을 포착하는 수학의 언어입니다.

1. 미분계수

$x=a$에서 $f$의 미분계수:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

이것은 $x=a$에서 접선의 기울기입니다.

f(x) = x²에서 x=3의 미분계수:
f'(3) = lim(h→0) ((3+h)² − 9)/h
= lim(h→0) (6h+h²)/h
= lim(h→0) (6+h) = 6

2. 도함수

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

표기: $f^{\prime }(x)=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)$

기본 미분 공식

① (c)' = 0  (상수)
② (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹  (n은 실수)
③ (cf(x))' = cf'(x)
④ (f±g)' = f' ± g'
⑤ (fg)' = f'g + fg'  (곱의 미분)
⑥ (f/g)' = (f'g − fg') / g²  (몫의 미분)

(x³)' = 3x²
(5x⁴)' = 20x³
(x²+3x−1)' = 2x+3

3. 접선의 방정식

$y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선:

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

f(x) = x³ − 3x + 1  위의 x=1인 점에서 접선:
f(1) = 1−3+1 = −1  →  점 (1, −1)
f'(x) = 3x²−3  →  f'(1) = 0  (기울기)
접선: y − (−1) = 0(x−1)  →  y = −1

f'(x) = x²+2x 의 그래프에 평행하고 기울기 3인 접선:
f'(x) = 2x+2 = 3  →  x = 1/2
f(1/2) = 1/4+1 = 5/4
접선: y − 5/4 = 3(x − 1/2)  →  y = 3x − 1/4

4. 함수의 증가·감소와 극값

f'(x) > 0인 구간: f 증가
f'(x) < 0인 구간: f 감소
f'(a) = 0이고 부호가 바뀌면: 극값

극대: f'(a)=0, 좌에서 +→−  (f'(a)>0인 곳에서 감소로)
극소: f'(a)=0, 좌에서 −→+

f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 4
f'(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x+1)(x−2)
f'(x)=0: x=−1, x=2

x:    (-∞,−1)  −1  (−1,2)  2  (2,∞)
f'(x):   +      0     −     0     +
f(x):  증가  극대  감소  극소  증가

f(−1) = −2+3−3−3+4·  = 11  (극대)
f(2)  = 16−12−24+4 = −16  (극소)

5. 최대·최솟값

닫힌 구간 [a,b]에서:
① 극값을 모두 구한다
② 양 끝값 f(a), f(b)를 구한다
③ 최대값 = 가장 큰 값, 최솟값 = 가장 작은 값

f(x) = x³ − 3x + 2  on  [0, 2]
f'(x) = 3x²−3 = 0  →  x=1 (x∈[0,2])
f(0)=2, f(1)=0, f(2)=4
최댓값: 4 (x=2), 최솟값: 0 (x=1)

6. 속도와 가속도

위치: s(t)
속도: v(t) = s'(t)
가속도: a(t) = v'(t) = s''(t)

s(t) = t³ − 6t² + 9t + 2
v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t−1)(t−3)
a(t) = 6t − 12

t=1, t=3에서 방향 전환 (v=0)
t=2에서 a=0 (가속도 방향 전환)