함수의 극한과 연속 — 미적분의 출발점

"$x$가 2에 한없이 가까워질 때 $f(x)$는 어디로 향하는가?" — 이것이 극한의 핵심 질문입니다. 미분과 적분은 모두 이 극한 위에 세워져 있습니다.

1. 수열의 극한 (복습)

lim(n→∞) a_n = α: a_n이 α에 수렴
lim(n→∞) a_n = ∞ 또는 -∞: 발산

lim(n→∞) 1/n = 0
lim(n→∞) r^n:  |r|<1이면 0,  r=1이면 1,  |r|>1이면 발산

lim(n→∞) (3n²+2n)/(2n²−1) = 3/2  (최고차항 계수비)

2. 함수의 극한

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

$x$가 $a$에 한없이 가까워질 때 (단, $x\ne a$) $f(x)$가 $L$에 수렴

좌극한과 우극한

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L$$

f(x) = |x|/x  (x≠0)
x→0⁻: f(x)=−1, x→0⁺: f(x)=1
좌극한 ≠ 우극한  →  극한값 없음

극한의 성질

lim f = A, lim g = B 이면:
lim(f±g) = A±B
lim(fg) = AB
lim(f/g) = A/B  (B≠0)
lim(cf) = cA

3. 극한값 계산 기법

0/0 꼴: 인수분해

lim(x→2) (x²−4)/(x−2) = lim(x→2) (x+2)(x−2)/(x−2)
= lim(x→2) (x+2) = 4

0/0 꼴: 유리화

lim(x→0) (√(x+1)−1)/x
= lim(x→0) (√(x+1)−1)(√(x+1)+1) / (x(√(x+1)+1))
= lim(x→0) x / (x(√(x+1)+1))
= lim(x→0) 1/(√(x+1)+1) = 1/2

∞/∞ 꼴

lim(x→∞) (3x²+x)/(2x²−5) = 3/2  (최고차항 계수비)
lim(x→∞) (x²+1)/(x+1) = ∞  (분자 차수 > 분모)
lim(x→∞) (x+1)/(x²+1) = 0  (분자 차수 < 분모)

샌드위치 정리 (조임 정리)

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), lim g = lim h = L
→ lim f = L

lim(x→0) x·sin(1/x): −|x| ≤ x·sin(1/x) ≤ |x|
→ 0

4. 함수의 연속

함수 $f$가 $x=a$에서 연속이면:

1. $f(a)$가 정의됨
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$가 존재
3. ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$

f(x) = (x²−4)/(x−2)  (x≠2), f(2) = 5  →  불연속
  lim = 4 ≠ f(2) = 5

g(x) = (x²−4)/(x−2)  (x≠2), g(2) = 4  →  연속

연속함수의 성질

• 다항함수, 유리함수(분모≠0), 삼각함수, 지수·로그함수는 정의역에서 연속
• 연속함수의 합·차·곱·몫(분모≠0), 합성도 연속

5. 연속함수의 정리

중간값 정리

$f$가 $[a,b]$에서 연속이고 $f(a)\ne f(b)$이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 임의의 값 $k$에 대해 $f(c)=k$인 $c\in (a,b)$가 존재합니다.

f(x) = x³ − x − 1
f(1) = −1 < 0, f(2) = 5 > 0
→ f(c) = 0인 c가 (1,2)에 존재 (방정식의 실근 존재 증명)

최대·최소값 정리

$f$가 $[a,b]$에서 연속이면 반드시 최댓값과 최솟값을 가집니다.