적분 — 부정적분, 정적분, 넓이와 활용

속도를 알면 거리를 구할 수 있습니다. 넓이를 한없이 얇은 직사각형의 합으로 구할 수 있습니다. 이것이 적분의 핵심 아이디어이며, 미분과 적분의 관계를 밝히는 미적분의 기본정리는 수학사의 가장 위대한 발견 중 하나입니다.

1. 부정적분

$F^{\prime }(x)=f(x)$이면 $F(x)$를 $f(x)$의 원시함수라 하고:

$$\int f(x)dx=F(x)+C(C:\text{적분상수})$$

기본 공식

∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C  (n≠−1)
∫ 1 dx = x + C
∫ cf(x) dx = c∫f(x) dx
∫ (f±g) dx = ∫f dx ± ∫g dx

∫ 3x² dx = x³ + C
∫ (4x³ − 6x + 1) dx = x⁴ − 3x² + x + C

적분상수 결정

f'(x) = 6x + 2이고 f(1) = 5일 때 f(x):
f(x) = ∫(6x+2)dx = 3x² + 2x + C
f(1) = 3+2+C = 5  →  C = 0
∴ f(x) = 3x² + 2x

2. 정적분

$${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$$

∫₁³ (3x²−2x) dx = [x³−x²]₁³ = (27−9)−(1−1) = 18

∫₋₂² |x| dx = 2∫₀² x dx = 2[x²/2]₀² = 2×2 = 4

정적분의 성질

∫_a^a f(x) dx = 0
∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx
∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

우함수 (f(−x)=f(x)):  ∫₋ₐᵃ f dx = 2∫₀ᵃ f dx
기함수 (f(−x)=−f(x)): ∫₋ₐᵃ f dx = 0

∫₋₂² (x⁴−3x²+1) dx = 2∫₀² (x⁴−3x²+1) dx
= 2[x⁵/5 − x³ + x]₀²
= 2(32/5 − 8 + 2) = 2(32/5 − 6) = 2/5 × 2 → 계산

3. 미적분의 기본정리

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

F(x) = ∫₁^x (3t²+1) dt
F'(x) = 3x²+1

g(x) = ∫_a^(x²) f(t) dt  →  g'(x) = f(x²)·2x  (치환 적용)

4. 넓이 계산

곡선과 x축 사이의 넓이

$$S={\int }_a^b|f(x)|dx$$

y = x² − x  (0≤x≤2) 과 x축으로 둘러싸인 넓이:
y=0: x=0, x=1  →  [0,1]에서 y≤0, [1,2]에서 y≥0

S = ∫₀¹ |x²−x| dx + ∫₁² (x²−x) dx
= ∫₀¹ (x−x²) dx + ∫₁² (x²−x) dx
= [x²/2 − x³/3]₀¹ + [x³/3 − x²/2]₁²
= (1/2−1/3) + (8/3−2)−(1/3−1/2)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

두 곡선 사이의 넓이

$$S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$$

y = x²와 y = x+2로 둘러싸인 넓이:
교점: x²=x+2 → (x+1)(x−2)=0 → x=−1, 2
[−1,2]에서 x+2 ≥ x²

S = ∫₋₁² (x+2−x²) dx = [x²/2+2x−x³/3]₋₁²
= (2+4−8/3) − (1/2−2+1/3)
= 10/3 − (−7/6) = 20/6+7/6 = 27/6 = 9/2

5. 속도·거리와 적분

v(t): t에서의 속도
위치 변화량: ∫_a^b v(t) dt  (부호 있음)
이동 거리:   ∫_a^b |v(t)| dt  (항상 양수)

v(t) = t² − 4t + 3  (0≤t≤3)
v(t)=0: t=1, 3  →  [0,1]에서 v>0, [1,3]에서 v<0

이동 거리 = ∫₀¹ v dt + ∫₁³ |v| dt
= [t³/3−2t²+3t]₀¹ + |[t³/3−2t²+3t]₁³|
= (1/3−2+3) + |(9−18+9)−(1/3−2+3)|
= 4/3 + 4/3 = 8/3