지수함수와 로그함수 — 그래프와 방정식·부등식

인구 성장, 방사성 붕괴, 복리 이자 — 모두 지수함수로 모델링됩니다. 그 역인 로그함수는 "몇 배가 되는 데 얼마나 걸리나?"를 답해 줍니다.

1. 지수함수 $y=a^x$

$a>0$, $a\ne 1$인 실수 $a$에 대해 $f(x)=a^x$

성질	$a>1$ (증가)	$0<a<1$ (감소)
정의역	모든 실수 $\mathbb{R}$
치역	양의 실수 $(0,\infty )$
점 $(0,1)$	항상 지남
점근선	$x$축 ($y=0$)
단조성	순증가	순감소

지수함수 그래프의 변환

y = 2^x 기본 그래프
y = 2^(x−3) → 오른쪽 3 평행이동
y = 2^x + 1  → 위쪽 1 평행이동
y = −2^x     → x축 대칭
y = 2^(−x)  → y축 대칭 (= (1/2)^x)

2. 로그함수 $y={\log }_{a}x$

지수함수 $y=a^x$의 역함수: $y=x$에 대해 대칭

성질	$a>1$ (증가)	$0<a<1$ (감소)
정의역	양의 실수 $(0,\infty )$
치역	모든 실수 $\mathbb{R}$
점 $(1,0)$	항상 지남
점근선	$y$축 ($x=0$)

y = log₂x 와 y = 2^x 는 y=x에 대해 대칭
y = log₂(x−2): 오른쪽 2 평행이동, 점근선 x=2
y = log₂x + 3: 위쪽 3 평행이동

3. 지수방정식

기본 전략: 양변을 같은 밑으로 통일

① 4^x = 32
   2^(2x) = 2^5  →  2x = 5  →  x = 5/2

② 9^x − 4·3^x − 5 = 0
   (3^x)² − 4·(3^x) − 5 = 0
   t = 3^x로 치환: t² − 4t − 5 = 0
   (t−5)(t+1) = 0 → t=5 (t>0이므로 t≠−1)
   3^x = 5 → x = log₃5

③ 2^(x+1) = 3^(x−1)
   양변 상용로그: (x+1)log2 = (x−1)log3
   x(log2−log3) = −log3−log2
   x = (log2+log3)/(log3−log2)

4. 로그방정식

① log₂(x−1) = 3
   x−1 = 2³ = 8  →  x = 9
   검증: x−1 = 8 > 0 ✓

② log x + log(x+3) = 1
   log(x(x+3)) = 1
   x²+3x = 10  →  x²+3x−10=0
   (x+5)(x−2) = 0 → x=2 (x>0이고 x+3>0)

③ log₂x = log₄(3x+10)
   밑 통일: log₂x = log₂(3x+10)^(1/2)
   x² = 3x+10  →  x²−3x−10=0
   (x−5)(x+2)=0 → x=5

5. 지수·로그 부등식

핵심: a>1이면 단조증가 → 부등호 방향 유지
      0 2   (밑 3>1, 단조증가)
   x−1 > 3² = 9  →  x > 10
   단, 진수 조건: x−1 > 0 → x > 1 (이미 포함)

④ log_(1/2)(x+1) ≤ −3   (밑 1/2<1, 단조감소)
   x+1 ≥ (1/2)^(−3) = 8  →  x ≥ 7
   단, 진수 조건: x+1 > 0 → x > −1 (이미 포함)