벡터 — 평면·공간 벡터와 직선·평면의 방정식

힘, 속도, 전기장 — 크기만으로는 부족하고 방향도 있는 양을 벡터라 합니다. 물리학, 컴퓨터 그래픽, 머신러닝까지, 벡터는 현대 과학기술의 공통 언어입니다.

1. 벡터의 기초

벡터: 크기와 방향을 가진 양 ( $A B$ , $a$ , $a$ )

스칼라: 크기만 있는 양

두 벡터가 같다: 크기와 방향이 모두 같음
영벡터 $0$ : 크기가 0 (방향 없음)
단위벡터: 크기가 1인 벡터

벡터의 연산

덧셈: 삼각형 법칙 or 평행사변형 법칙
  AB⃗ + BC⃗ = AC⃗  (삼각형 법칙)

뺄셈: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗)

실수배: |k·a⃗| = |k|·|a⃗|
  k>0: 같은 방향,  k<0: 반대 방향,  k=0: 영벡터

성분 표현: a⃗ = (a₁, a₂)
  a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁, a₂+b₂)
  k·a⃗ = (ka₁, ka₂)
  |a⃗| = √(a₁²+a₂²)

2. 위치벡터

원점 $O$ 에서 점 $P$ 까지의 벡터: $O P = p$

두 점 A(a⃗), B(b⃗)에서
AB⃗ = b⃗ − a⃗

m:n 내분점 P:  p⃗ = (mb⃗ + na⃗)/(m+n)
중점 M:  m⃗ = (a⃗+b⃗)/2

A(1,2), B(5,4)의 중점: ((1+5)/2, (2+4)/2) = (3, 3)

3. 내적 (Dot Product)

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$

성분으로: $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ 이면 $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

내적의 성질:
  a⃗·b⃗ = b⃗·a⃗  (교환법칙)
  a⃗·(b⃗+c⃗) = a⃗·b⃗ + a⃗·c⃗  (분배법칙)
  a⃗·a⃗ = |a⃗|²

수직 조건: a⃗·b⃗ = 0  (θ = 90°)
평행 조건: a⃗×b⃗ = 0  또는 a⃗ = kb⃗

a⃗=(2,3), b⃗=(−3,2):
a⃗·b⃗ = 2×(−3)+3×2 = −6+6 = 0  → 수직

두 벡터의 각도:
cos θ = a⃗·b⃗ / (|a⃗||b⃗|)

4. 공간 벡터

3차원으로 확장: $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$

|a⃗| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
a⃗·b⃗ = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

기저 벡터:
  e₁ = (1,0,0),  e₂ = (0,1,0),  e₃ = (0,0,1)
  a⃗ = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃

A(1,2,3), B(4,0,1):
AB⃗ = (3,−2,−2)
|AB⃗| = √(9+4+4) = √17

5. 직선의 벡터 방정식

점 $A (a)$ 를 지나고 방향벡터 $d$ 인 직선:

$r = a + t d (t \in R)$

점 (1,2,3)을 지나고 방향벡터 (2,−1,4)인 직선:
(x,y,z) = (1,2,3) + t(2,−1,4)
x = 1+2t, y = 2−t, z = 3+4t

매개변수 소거:
(x−1)/2 = (y−2)/(−1) = (z−3)/4 = t

두 점 A(1,0,2), B(3,4,−1)을 지나는 직선:
방향벡터: AB⃗ = (2,4,−3)
r⃗ = (1,0,2) + t(2,4,−3)

6. 평면의 방정식

점 $A (a)$ 를 지나고 법선벡터(normal vector) $n = (a, b, c)$ 인 평면:

$n \cdot (r - a) = 0 \Rightarrow a x + b y + cz = d$

점 (2,1,−3)을 지나고 법선벡터 (1,2,−1)인 평면:
1(x−2) + 2(y−1) − 1(z+3) = 0
x + 2y − z = 7

세 점을 지나는 평면:
법선벡터 = AB⃗ × AC⃗ (외적) 또는 두 벡터에 수직인 벡터 찾기

점과 평면의 거리

평면 $a x + b y + cz + d = 0$ 에서 점 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 까지의 거리:

$D = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

핵심 정리

내적: $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$
수직 조건: $a \cdot b = 0$
직선: $r = a + t d$
평면: $n \cdot (r - a) = 0$