수열의 극한 — 수렴·발산과 급수

$0.999\dots =1$ 일까요? 수학적으로 정확히 "예"입니다. 이를 이해하려면 수열의 극한이 필요합니다. 무한히 나아가는 수열의 종착점을 탐구합니다.

1. 수열의 수렴과 발산

수열 $\{a_n\}$에서 $n\to \infty$일 때 $a_n\to \alpha$이면 수렴이라 하고:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$$

수렴하지 않으면 발산이라 합니다 ($\infty$, $-\infty$, 또는 진동).

lim(n→∞) 1/n = 0           (수렴)
lim(n→∞) 2n/(n+1) = 2       (수렴)
lim(n→∞) n² = ∞            (양의 무한대로 발산)
lim(n→∞) (−1)ⁿ: 진동 발산

극한의 성질

lim a_n = α, lim b_n = β 이면:
  lim(a_n ± b_n) = α ± β
  lim(a_n · b_n) = αβ
  lim(c·a_n) = cα
  lim(a_n/b_n) = α/β  (β≠0)

∞/∞ 꼴 — 최고차항으로 나누기

lim (3n² + 2n) / (n² − 1)
= lim (3 + 2/n) / (1 − 1/n²) = 3/1 = 3

lim (2n³ + n) / (5n² + 3)
= lim (2n + 1/n) / (5 + 3/n²) = ∞  (분자 차수 > 분모)

lim n / (n² + 1) = 0  (분자 차수 < 분모)

∞−∞ 꼴 — 유리화

lim (√(n²+n) − n)
= lim n / (√(n²+n) + n)
= lim 1 / (√(1+1/n) + 1) = 1/2

2. 등비수열의 극한

공비 $r$에 따른 ${\lim }_{n\to \infty }{r}^n$:

$r$의 범위	$\lim r^n$
$r>1$	$\infty$ (발산)
$r=1$	$1$
$-1<r<1$	$0$
$r=-1$	진동 발산
$r<-1$	진동 발산

lim (3^n + 2^n) / 3^n = lim (1 + (2/3)^n) = 1+0 = 1
lim (2^(n+1) − 3) / (2^n + 1) = lim (2 − 3/2^n) / (1 + 1/2^n) = 2

3. 급수 (무한급수)

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N,S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n$$

$S_N$이 수렴하면 급수가 수렴, 아니면 발산.

급수 수렴의 필요조건

$$\sum a_n\text{ 수렴}⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$$

(역은 성립하지 않음: $\sum 1/n$은 발산)

등비급수

첫째항 $a$, 공비 $r$ ($|r|<1$)인 등비급수:

$$\sum _{n=0}^{\infty }a{r}^n=\frac{a}{1-r}$$

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1−1/2) = 2

0.999... = 9/10 + 9/100 + ...
= (9/10) / (1 − 1/10) = (9/10)/(9/10) = 1  ✓

Σ(n=1→∞) 2/3^n = (2/3)/(1−1/3) = (2/3)/(2/3) = 1

급수 부분분수:
Σ 1/(n(n+1)) = Σ(1/n − 1/(n+1)) = 1 (텔레스코핑)

4. 급수 활용: 도형과 급수

한 변의 길이가 1인 정삼각형에서
각 단계마다 넓이의 1/4을 제거할 때 남은 넓이:
S = S₀(1 − 1/4 + (1/4)²(3/4) + ...) → 등비급수로 계산

무한히 반복되는 도형 문제:
전체 넓이 = 첫 번째 넓이 / (1 − 공비)