적분법 — 치환·부분적분과 응용

다항함수만 적분하던 시대는 끝났습니다. $\int e^{x}dx$, $\int \sin xdx$, $\int x{e}^{x}dx$ — 이런 적분을 해결하는 강력한 두 무기가 치환적분과 부분적분입니다.

1. 기본 적분 공식

함수 $f(x)$	$\int f(x)dx$
$x^n$ ($n\ne -1$)	$x^{n+1}/(n+1)+C$
$1/x$	$\ln |x|+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x$	$a^x/\ln a+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$1/{\cos }^{2}x$	$\tan x+C$

∫ e^(3x) dx = (1/3)e^(3x) + C
∫ 2^x dx = 2^x/ln2 + C
∫ sin(2x) dx = −(1/2)cos(2x) + C

2. 치환적분법

$g(x)=t$로 치환하면 $g^{\prime }(x)dx=dt$:

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(t)dt$$

① ∫ 2x(x²+1)^5 dx
   t = x²+1, dt = 2x dx
   = ∫ t^5 dt = t^6/6 + C = (x²+1)^6/6 + C

② ∫ sin x · cos x dx
   t = sin x, dt = cos x dx
   = ∫ t dt = t²/2 + C = sin²x/2 + C

③ ∫ e^x/(e^x+1) dx
   t = e^x+1, dt = e^x dx
   = ∫ 1/t dt = ln|t| + C = ln(e^x+1) + C

④ 정적분 치환:
   ∫₀¹ x√(x²+1) dx
   t = x²+1: x=0→t=1, x=1→t=2
   = ∫₁² (1/2)√t dt = (1/2)·[2t^(3/2)/3]₁² = (2√2−1)/3

3. 삼각 치환

∫ cos²x dx = ∫ (1+cos2x)/2 dx = x/2 + sin2x/4 + C
∫ sin²x dx = ∫ (1−cos2x)/2 dx = x/2 − sin2x/4 + C
∫ sin x cos x dx = (1/2)∫ sin2x dx = −cos2x/4 + C

4. 부분적분법

$$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$$

선택 우선순위 (LIATE): 로그 > 역삼각 > 대수(다항) > 삼각 > 지수

① ∫ x·eˣ dx
   u=x, v'=eˣ → u'=1, v=eˣ
   = x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x−1)eˣ + C

② ∫ x·sin x dx
   u=x, v'=sinx → u'=1, v=−cosx
   = −x·cosx − ∫(−cosx)dx = −x·cosx + sinx + C

③ ∫ ln x dx
   u=lnx, v'=1 → u'=1/x, v=x
   = x·lnx − ∫ 1 dx = x·lnx − x + C

④ ∫ eˣ·sinx dx  (재귀 부분적분)
   I = eˣsinx − ∫eˣcosx dx
     = eˣsinx − (eˣcosx + ∫eˣsinx dx)
     = eˣsinx − eˣcosx − I
   2I = eˣ(sinx−cosx)
   I = eˣ(sinx−cosx)/2 + C

5. 정적분 활용

넓이

두 곡선 y=eˣ, y=x+1, x=0, x=2로 둘러싸인 넓이:
[0,2]에서 eˣ ≥ x+1 (eˣ−x−1≥0)
S = ∫₀² (eˣ−x−1) dx = [eˣ−x²/2−x]₀² = (e²−3)−(1) = e²−4

회전체의 부피

$y=f(x)$를 $x$축 주위로 회전시킨 입체의 부피 ($a\le x\le b$):

$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

y=√x (0≤x≤4)를 x축 중심으로 회전:
V = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π

속도·거리

v(t) = e^t − 2sin t  (0≤t≤π)
위치 변화량 = ∫₀^π (e^t − 2sint) dt
= [e^t + 2cost]₀^π = (e^π − 2) − (1+2) = e^π − 5

곡선의 길이 (매개변수):
L = ∫_a^b √((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt