미분법 — 지수·로그·삼각함수의 미분

고2에서 다항함수만 미분했다면, 이제 모든 함수를 미분할 차례입니다. 지수·로그·삼각함수의 미분은 자연의 법칙을 수학적으로 기술하는 데 필수적입니다.

1. 지수함수의 미분

$$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$$

$$\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$$

(e^x)' = e^x   ← 자기 자신이 도함수!
(2^x)' = 2^x · ln2
(e^(3x))' = 3e^(3x)  (연쇄법칙)
(e^(x²))' = 2x·e^(x²)

2. 로그함수의 미분

$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}(x>0)$$

$$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln a}$$

(ln x)' = 1/x
(ln(3x))' = 1/x  (→ 1/(3x)·3 = 1/x)
(ln(x²+1))' = 2x/(x²+1)
(log₂x)' = 1/(x·ln2)

로그 미분법: 복잡한 곱·나눗셈
y = x^x  →  ln y = x·ln x
(1/y)·y' = ln x + 1  →  y' = x^x(ln x + 1)

3. 삼각함수의 미분

함수	도함수
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	${\sec }^{2}x=1/{\cos }^{2}x$

(sin 2x)' = 2cos 2x
(cos(x²))' = -2x·sin(x²)
(tan x)' = 1/cos²x = sec²x

극한 공식 (미분의 기초):
lim(x→0) sinx/x = 1
lim(x→0) tanx/x = 1
lim(x→0) (1−cosx)/x² = 1/2

4. 연쇄법칙 (Chain Rule)

합성함수 $y=f(g(x))$의 미분:

$$y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

y = (x³+1)^10
y' = 10(x³+1)^9 · 3x² = 30x²(x³+1)^9

y = sin(e^x)
y' = cos(e^x) · e^x

y = ln(sin x)
y' = cosx/sinx = cotx

y = e^(sin²x)
y' = e^(sin²x) · 2sinx·cosx = sin2x · e^(sin²x)

5. 역함수의 미분

$y=f^{-1}(x)$이면:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{\prime }(y)}=\frac{1}{dx/dy}$$

y = arcsin x  (sin의 역함수)
sin y = x  →  cosy · y' = 1
y' = 1/cosy = 1/√(1−sin²y) = 1/√(1−x²)

y = arctan x
tan y = x  →  sec²y · y' = 1
y' = cos²y = 1/(1+tan²y) = 1/(1+x²)

6. 매개변수 미분법

$x=f(t)$, $y=g(t)$로 매개변수 표현될 때:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$$

x = t² − 1,  y = t³ + t
dx/dt = 2t,  dy/dt = 3t²+1
dy/dx = (3t²+1)/(2t)

t=1일 때 dy/dx = 4/2 = 2

이계도함수:
d²y/dx² = (d/dt)(dy/dx) / (dx/dt)

7. 음함수 미분법

$F(x,y)=0$ 형태에서 $y$를 $x$의 함수로 보고 양변을 $x$로 미분

x² + y² = 25  (원)
2x + 2y·(dy/dx) = 0
dy/dx = −x/y

x³ + y³ = 6xy
3x² + 3y²y' = 6y + 6xy'
y'(3y²−6x) = 6y − 3x²
y' = (2y−x²)/(y²−2x)

8. 도함수의 활용 (심화)

오목·볼록과 변곡점:
  f''(x) > 0: 아래로 볼록
  f''(x) < 0: 위로 볼록
  f''(a)=0이고 부호 변화: 변곡점

속도·가속도 벡터:
  x=f(t), y=g(t)
  속도 벡터: (f'(t), g'(t))
  속력: √((f')²+(g')²)

로피탈 법칙:
  0/0 또는 ∞/∞ 꼴의 극한에서
  lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)