확률 심화 — 조건부확률, 이산·연속 확률분포

"비가 올 때 우산을 살 확률"은 "아무 때나 우산을 살 확률"과 다릅니다. 이것이 조건부확률입니다. 실제 의사결정, 의학 검사, AI 분류 알고리즘까지 확률의 심화는 현대 사회의 핵심 언어입니다.

1. 조건부확률

사건 $B$가 일어났다는 조건에서 사건 $A$가 일어날 확률:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}(P(B)>0)$$

카드 52장 중 1장 뽑기
P(하트 | 그림 카드) = P(하트 그림카드) / P(그림카드)
= (3/52) / (12/52) = 3/12 = 1/4

곱셈 공식:
P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)

2. 독립과 종속

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ 이면 사건 $A$와 $B$는 독립입니다.

독립 ⟺ $P(A|B)=P(A)$ ⟺ $P(B|A)=P(B)$

동전 2번 던지기: A={1번째 앞}, B={2번째 앞}
P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(A∩B)=1/4
P(A)·P(B) = 1/4 = P(A∩B) → 독립

독립 사건의 여사건도 독립:
A, B 독립 → A^c, B도 독립; A, B^c도 독립

3. 전확률 공식과 베이즈 정리

전확률 공식:
A₁, A₂, ..., Aₙ이 표본공간의 분할일 때
P(B) = ΣP(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)

베이즈 정리:
P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) / P(B)

예) 공장 A(60%), B(40%) 생산. 불량률: A=2%, B=3%
불량품 1개 발견 시 A 공장 제품일 확률:
P(A|불량) = P(A)·P(불량|A) / P(불량)
= 0.6×0.02 / (0.6×0.02+0.4×0.03)
= 0.012 / 0.024 = 1/2

4. 확률변수와 확률분포

이산확률변수

확률변수 X의 확률분포표에서:
E(X) = Σxᵢ·P(X=xᵢ)   (기댓값)
V(X) = E(X²) − [E(X)]²  (분산)
σ(X) = √V(X)           (표준편차)

E(aX+b) = aE(X)+b
V(aX+b) = a²V(X)

이항분포 $B(n,p)$

$n$번 시행에서 성공 확률 $p$, 성공 횟수 $X$:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

$$E(X)=np,V(X)=np(1-p)$$

주사위 10번 던져 6이 나오는 횟수 X ~ B(10, 1/6)
E(X) = 10·(1/6) = 5/3
V(X) = 10·(1/6)·(5/6) = 25/18

P(X=2) = C(10,2)·(1/6)²·(5/6)^8

5. 연속확률변수와 정규분포

연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$:

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx,{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$$

정규분포 $N(\mu ,{\sigma }^2)$

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

특징:
- 평균 μ에서 대칭인 종 모양
- μ±σ: 약 68.3%,  μ±2σ: 95.4%,  μ±3σ: 99.7%

표준화: Z = (X − μ) / σ  →  Z ~ N(0, 1)

X ~ N(70, 100)  (μ=70, σ=10)
P(60≤X≤80) = P(−1≤Z≤1) = 2·P(0≤Z≤1) ≈ 0.6826

표준정규분포표 사용:
P(0≤Z≤z₀) 값을 주면 확률 계산 가능