통계 — 표본분포, 추정, 가설검정

전국 고3 학생의 평균 키를 알고 싶다면? 300만 명을 모두 재는 것은 불가능합니다. 100명만 표본으로 뽑아 추정할 수 있습니다 — 이것이 통계적 추론입니다.

1. 모집단과 표본

용어	설명	기호
모집단	조사 대상 전체	N (모집단 크기)
표본	모집단의 일부	n (표본 크기)
모평균	모집단 평균	μ
모분산	모집단 분산	σ²
표본평균	표본의 평균	$\bar{X}$
표본분산	표본의 분산	$S^2$

무작위추출: 모든 개체가 동일한 확률로 선택됨
복원추출: 뽑은 것을 되돌려 놓고 다시 추출
비복원추출: 뽑은 것을 되돌려 놓지 않음

2. 표본평균의 분포

모평균 $\mu$, 모분산 ${\sigma }^2$인 모집단에서 크기 $n$의 표본을 뽑을 때:

$$E(\bar{X})=\mu$$

$$V(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n},\sigma (\bar{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

중심극한정리

$n$이 충분히 크면 (일반적으로 $n\ge 30$), 모집단의 분포와 관계없이:

$$\bar{X}\approx N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$

모평균 50, 모표준편차 12인 모집단에서 n=36 표본:
E(X̄) = 50
σ(X̄) = 12/√36 = 2

P(47 ≤ X̄ ≤ 53) = P(-1.5 ≤ Z ≤ 1.5) ≈ 0.8664

3. 모평균의 추정 (신뢰구간)

모분산 ${\sigma }^2$을 알고, 크기 $n$의 표본평균이 $\bar{x}$일 때, 모평균 $\mu$의 신뢰구간:

신뢰수준 95%

$$\bar{x}-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \bar{x}+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

신뢰수준 99%

$$\bar{x}-2.58\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \bar{x}+2.58\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

예) σ=15, n=100, x̄=75, 신뢰수준 95%:
E = 1.96 × 15/√100 = 1.96 × 1.5 = 2.94
신뢰구간: (75−2.94, 75+2.94) = (72.06, 77.94)

신뢰구간 길이 = 2 × 1.96 × σ/√n
n을 4배로 늘리면 신뢰구간 길이는 1/2로 감소

표본 크기 결정

신뢰구간 길이를 L 이하로 하려면:
2 × z × σ/√n ≤ L
n ≥ (2zσ/L)²

허용 오차 E = 1.96σ/√n → n = (1.96σ/E)²

4. 가설검정

기본 개념

용어	설명
귀무가설 H₀	검정하려는 가설 (등호 포함)
대립가설 H₁	귀무가설에 반하는 가설
유의수준 α	H₀가 참인데 기각할 확률 (보통 0.05 또는 0.01)
기각역	H₀를 기각하는 통계량의 범위
p값	관찰된 결과보다 극단적인 결과가 나올 확률

검정 절차

① 귀무가설·대립가설 설정
   H₀: μ = μ₀  vs  H₁: μ ≠ μ₀ (양측) 또는 H₁: μ > μ₀ (단측)
② 유의수준 α 설정 (0.05)
③ 검정통계량 계산: Z = (X̄ − μ₀) / (σ/√n)
④ 기각역 결정:
   양측: |Z| > 1.96  (α=0.05)
   단측: Z > 1.645   (α=0.05)
⑤ 결론: 기각역에 포함되면 H₀ 기각

예) μ₀=50, σ=10, n=100, x̄=52.5, α=0.05 (양측)
Z = (52.5−50)/(10/10) = 2.5
|Z|=2.5 > 1.96 → H₀ 기각
"평균이 50이 아니다"라고 결론