다항식 — 나머지정리와 인수분해의 완성

중학교에서 배운 다항식을 대폭 확장합니다. 단순 곱셈 공식을 넘어 나머지정리로 나누기 없이 나머지를 구하고, 인수정리로 고차 다항식의 인수를 단번에 찾습니다.

1. 다항식의 연산

지수법칙 복습

a^m × a^n = a^(m+n)
(a^m)^n  = a^(mn)
(ab)^n   = a^n b^n
a^m ÷ a^n = a^(m-n)  (m>n)

다항식의 덧셈·뺄셈

동류항끼리 계산합니다.

(3x² + 2x − 1) + (x² − 5x + 4)
= (3+1)x² + (2−5)x + (−1+4)
= 4x² − 3x + 3

곱셈 공식

공식	예시
$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$	$(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$
$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$	$(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$	$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$	$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$

2. 항등식과 미정계수법

등식이 모든 x 값에서 성립하면 항등식입니다.

ax² + bx + c = 2x² − 3x + 1 이 항등식이면
a = 2,  b = −3,  c = 1

(미정계수법) 양변의 동류항 계수를 맞추거나
특정 값을 대입해서 연립방정식으로 풀기

3. 다항식의 나눗셈

$f(x)=Q(x)\cdot D(x)+R(x)$ 꼴로 나타낼 수 있습니다 ($R$의 차수 $<$ $D$의 차수).

x³ − 2x² + x + 3  ÷  (x − 2)

조립제법:
    2 | 1  −2   1   3
      |     2   0   2
      +──────────────
        1   0   1   5

∴ x³ − 2x² + x + 3 = (x−2)(x² + 1) + 5
  몫: x² + 1, 나머지: 5

4. 나머지정리 (Remainder Theorem)

다항식 $f(x)$를 $(x-a)$로 나눈 나머지는 $f(a)$입니다.

$$f(x)=Q(x)(x-a)+R⟹R=f(a)$$

f(x) = x³ − 2x + 1을 (x−2)로 나눈 나머지:
f(2) = 8 − 4 + 1 = 5

f(x)를 (x+1)로 나눈 나머지:
f(−1) = −1 + 2 + 1 = 2

f(x)를 (2x−1)로 나눈 나머지:
(2x−1) = 2(x−1/2) → f(1/2) = 1/8 − 1 + 1 = 1/8

5. 인수정리 (Factor Theorem)

$f(a)=0$ 이면 $(x-a)$가 $f(x)$의 인수입니다. (나머지정리의 특수 경우)

f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 에서
f(1) = 1−6+11−6 = 0  →  (x−1)은 인수

조립제법으로 나누기:
    1 | 1  −6  11  −6
      |     1  −5   6
      +────────────────
        1  −5   6   0

∴ f(x) = (x−1)(x²−5x+6) = (x−1)(x−2)(x−3)

6. 고차 다항식의 인수분해 전략

① 공통인수 먼저 묶기
② 치환으로 이차식으로 변환
③ 인수정리로 유리근 후보 시도 (±약수)

x⁴ − 5x² + 4
= (x²−1)(x²−4) = (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)

x³ + 3x² − 4
f(1) = 1+3−4 = 0 → (x−1)이 인수
= (x−1)(x²+4x+4) = (x−1)(x+2)²