방정식과 부등식 — 복소수부터 절댓값 부등식까지

$x^2=-1$을 풀 수 없다고 생각했나요? 허수 단위 $i$를 도입하면 모든 이차방정식은 반드시 두 근을 가집니다. 복소수로 수 체계를 완성하고, 다양한 방정식과 부등식을 정복합니다.

1. 복소수 (Complex Numbers)

$$i=\sqrt{-1},i^2=-1$$

복소수: $a+bi$ ($a$: 실수부, $b$: 허수부)

$i^1$	$i^2$	$i^3$	$i^4$	$i^5$
$i$	$-1$	$-i$	$1$	$i$ (반복)

복소수의 연산

(2+3i) + (1−i) = 3+2i
(2+3i) × (1−i) = 2−2i+3i−3i² = 2+i+3 = 5+i

켤레복소수: z = a+bi → z̄ = a−bi
z·z̄ = a²+b²  (실수)

나눗셈: (2+i)÷(1+2i) = (2+i)(1−2i)/((1+2i)(1−2i))
= (2−4i+i−2i²)/(1+4) = (4−3i)/5 = 4/5 − 3i/5

2. 이차방정식의 심화

판별식과 근의 분류

$a{x}^2+bx+c=0$, $D=b^2-4ac$

$D$	근의 종류
$D>0$	서로 다른 두 실근
$D=0$	중근 (같은 두 실근)
$D<0$	서로 다른 두 허근 (켤레 복소수)

근과 계수의 관계 (비에타)

ax² + bx + c = 0의 두 근 α, β:
  α + β = −b/a
  αβ   = c/a

α² + β² = (α+β)² − 2αβ
α³ + β³ = (α+β)³ − 3αβ(α+β)

두 수 α, β를 근으로 하는 이차방정식:
x² − (α+β)x + αβ = 0

3. 고차방정식

x⁴ − 3x² − 4 = 0
(x²−4)(x²+1) = 0
x² = 4 또는 x² = −1
x = ±2 또는 x = ±i

x³ = 1 (1의 세제곱근)
x³ − 1 = 0 → (x−1)(x²+x+1) = 0
x=1 또는 x = (−1±√3 i)/2 = ω, ω²

ω의 성질: ω³=1, 1+ω+ω²=0

4. 연립방정식

연립이차방정식:
  x + y = 5
  xy   = 6

→ x, y는 t²−5t+6=0의 두 근
→ (t−2)(t−3)=0 → {x=2,y=3} 또는 {x=3,y=2}

x² + y² = 13
xy = 6  → (x+y)² = x²+2xy+y² = 25
→ x+y = ±5
연립: x+y=5, xy=6 → (2,3) 또는 (3,2)

5. 부등식

이차부등식

x² − 5x + 6 > 0
(x−2)(x−3) > 0
x < 2 또는 x > 3

x² − 5x + 6 ≤ 0
2 ≤ x ≤ 3

x² + 1 > 0  → 모든 실수 (항상 참)
x² + 1 < 0  → 해 없음

절댓값 부등식

|x − 3| < 2
−2 < x−3 < 2
1 < x < 5

|x + 1| ≥ 4
x+1 ≥ 4 또는 x+1 ≤ −4
x ≥ 3  또는  x ≤ −5

연립부등식

2x − 1 > 3  →  x > 2
x + 4 ≤ 8  →  x ≤ 4
공통: 2 < x ≤ 4