함수 — 합성함수와 역함수

함수는 수학의 핵심 개념입니다. 입력을 넣으면 출력이 나오는 규칙 — 이것이 함수입니다. 합성함수는 함수를 연결하고, 역함수는 함수를 되돌립니다. 이 두 개념은 미적분·지수로그함수의 토대가 됩니다.

1. 함수의 정의

집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 원소를 하나씩 대응시키는 규칙을 함수 $f:X\to Y$라 합니다.

• 정의역(domain): $X$
• 공역(codomain): $Y$
• 치역(range): 실제로 대응된 $Y$의 원소들의 집합

f: {1,2,3} → {a,b,c,d}
f(1)=a, f(2)=b, f(3)=b  → 함수 (각 입력에 하나의 출력)

g(1)=a, g(1)=b  → 함수 아님 (입력 1에 두 출력)

2. 함수의 종류

종류	조건	역함수
일반 함수	각 입력 → 하나의 출력	-
단사함수 (일대일)	다른 입력 → 다른 출력 $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$	역함수 존재 조건
전사함수 (위로의)	치역 = 공역	-
전단사(일대일대응)	단사 + 전사	역함수 존재

f(x) = 2x: 단사함수 ✓ (서로 다른 x → 서로 다른 출력)
f(x) = x²: 단사 아님 (f(2)=f(−2)=4)

단조증가 또는 단조감소 함수 → 단사함수

3. 합성함수

$f:X\to Y$, $g:Y\to Z$일 때 합성함수:

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

f(x) = 2x+1,  g(x) = x²

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)² = 4x²+4x+1
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x²+1

일반적으로 g∘f ≠ f∘g  (교환법칙 성립 안 함)

(h ∘ g ∘ f)(x) = h(g(f(x)))  (결합법칙은 성립)

합성함수 계산 팁

f(x)=x+3, g(f(x))=2x+7일 때 g(x) 구하기:
f(x)=t로 치환: x = t−3
g(t) = 2(t−3)+7 = 2t+1
∴ g(x) = 2x+1

4. 역함수

$f:X\to Y$가 전단사함수일 때 역함수 $f^{-1}:Y\to X$가 존재합니다.

$$f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$$

$$f^{-1}(f(x))=x,f(f^{-1}(y))=y$$

역함수 구하는 방법

f(x) = 3x + 2  의 역함수:

① y = 3x + 2
② x와 y 교환: x = 3y + 2
③ y에 대해 풀기: y = (x−2)/3
④ f⁻¹(x) = (x−2)/3

검증: f(f⁻¹(x)) = 3·(x−2)/3 + 2 = x ✓

역함수의 그래프

$y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 $y=x$에 대해 대칭입니다.

f(x) = 2x−1  ↔  f⁻¹(x) = (x+1)/2

y = 2x−1: 기울기 2, y절편 −1
y = (x+1)/2: 기울기 1/2, y절편 1/2
→ y=x에 대해 대칭 ✓

5. 유리함수와 무리함수 (개요)

유리함수: y = (ax+b)/(cx+d)
  점근선: x = d/c (수직), y = a/c (수평)
  대표: y = 1/x  → 쌍곡선

무리함수: y = √(ax+b)
  정의역: ax+b ≥ 0
  대표: y = √x  → 반포물선