도형의 방정식 — 좌표로 기하를 풀다

피타고라스가 "기하"라 부른 것을 데카르트는 좌표 위에 올렸습니다. 직선을 방정식으로, 원을 방정식으로 — 해석기하학은 기하학 문제를 대수 문제로 바꾸는 강력한 도구입니다.

1. 두 점 사이의 거리와 내·외분

두 점 사이의 거리

$∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

내분점과 외분점

두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 를 $m : n$ 으로

내분: $(\frac{m x _{2} + n x _{1}}{m + n}, \frac{m y _{2} + n y _{1}}{m + n})$

외분: $(\frac{m x _{2} - n x _{1}}{m - n}, \frac{m y _{2} - n y _{1}}{m - n})$ ( $m \neq = n$ )

A(1,2), B(5,6)을 2:1로 내분:
x = (2×5 + 1×1)/(2+1) = 11/3
y = (2×6 + 1×2)/(2+1) = 14/3

중점: m=n=1 → ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

2. 직선의 방정식

형태	공식	특징
기울기-절편	$y = m x + b$	수직선 표현 불가
점-기울기	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	한 점과 기울기 주어질 때
두 점	$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$	두 점 주어질 때
절편	$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$	x절편 $a$ , y절편 $b$

두 점 (1,3), (4,9) 지나는 직선:
기울기 = (9−3)/(4−1) = 2
y − 3 = 2(x − 1)
y = 2x + 1

점과 직선 사이의 거리

직선 $a x + b y + c = 0$ 에서 점 $(x_{0}, y_{0})$ 까지의 거리:

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

3x + 4y − 5 = 0에서 원점(0,0)까지 거리:
d = |3×0 + 4×0 − 5| / √(9+16) = 5/5 = 1

3. 원의 방정식

중심 $(a, b)$ , 반지름 $r$ 인 원:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

일반형: $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ → 완전제곱식으로 변환

x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0
(x²−4x+4) + (y²+6y+9) = 3+4+9
(x−2)² + (y+3)² = 16
중심: (2,−3), 반지름: 4

중심 (1,−2), 반지름 3인 원:
(x−1)² + (y+2)² = 9

원과 직선의 관계

원: (x−2)²+(y−1)²=25  (중심(2,1), 반지름5)
직선: 3x+4y+k=0

원의 중심에서 직선까지 거리 d = |3×2+4×1+k|/5 = |10+k|/5

d < 5 → 두 교점 (|10+k| < 25 → −35 < k < 15)
d = 5 → 접선 (|10+k| = 25 → k=15 또는 k=−35)
d > 5 → 만나지 않음

4. 도형의 이동

평행이동

$f (x, y) = 0$ 을 $x$ 축 방향 $a$ , $y$ 축 방향 $b$ 만큼 이동:

$f (x - a, y - b) = 0$

대칭이동

대칭축	$f (x, y) = 0$ 의 변환
x축	$f (x, - y) = 0$
y축	$f (- x, y) = 0$
원점	$f (- x, - y) = 0$
$y = x$	$f (y, x) = 0$

핵심 정리

두 점 거리: $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
점-직선 거리: $∣ a x_{0} + b y_{0} + c ∣/ a^{2} + b^{2}$
원 표준형: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
평행이동: $f (x - a, y - b) = 0$