미분은 변화율을 다루는 수학의 핵심 도구입니다. 함수의 순간 변화율, 즉 접선의 기울기를 구하는 과정을 통해 미분의 본질을 이해해봅시다.
극한의 개념
x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 가까워지는 값을 '극한값'이라 합니다.
lim (x → a) f(x) = L미분계수와 도함수
함수 f(x)의 x = a에서의 미분계수는:
f'(a) = lim (h → 0) [f(a+h) - f(a)] / h이것은 곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기입니다.
기본 미분 공식
- (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
- (상수)' = 0
- {f(x) + g(x)}' = f'(x) + g'(x)
- {cf(x)}' = cf'(x)
예제
f(x) = 3x² + 2x - 5
f'(x) = 6x + 2
x = 1에서의 미분계수:
f'(1) = 6(1) + 2 = 8
→ 점 (1, 0)에서의 접선의 기울기는 8